5 La recta $\ell$ interseca los lados $BC$ y $AD$ del cuadrilátero cíclico $ABCD$ en sus puntos interiores $R$ y $S$ , respectivamente, e interseca el rayo $DC$ más allá del punto $C$ en $Q$ , y el rayo $BA$ más allá del punto $A$ en $P$ . Las circunferencias circunscritas de los triángulos $QCR$ y $QDS$ se intersecan en $N \neq Q$ , mientras que las circunferencias circunscritas de los triángulos $PAS$ y $PBR$ se intersecan en $M\neq P$ . Las rectas $MP$ y $NQ$ se cortan en el punto $X$ , las rectas $AB$ y $CD$ se cortan en el punto $K$ y las rectas $BC$ y $AD$ se cortan en el punto $L$ . Demuestre que el punto $X$ se encuentra sobre la recta $KL$ .

1 Sean $m$ y $n$ enteros positivos mayores que $1$ . En cada cuadrado unitario de una cuadrícula de $m\times n$ hay una moneda con el lado de la cruz hacia arriba. Un movimiento consiste en los siguientes pasos: seleccionar un cuadrado de $2\times 2$ en la cuadrícula; voltear las monedas en los cuadrados unitarios superior izquierdo e inferior derecho; voltear la moneda en el cuadrado unitario superior derecho o en el inferior izquierdo. Determine todos los pares $(m,n)$ para los cuales es posible que todas las monedas muestren la cara hacia arriba después de un número finito de movimientos. Thanasin Nampaisarn, Tailandia

2 Sea $\mathbb R_{>0}$ el conjunto de los números reales positivos. Determine todas las funciones $f \colon \mathbb R_{>0} \to \mathbb R_{>0}$ tales que \[x \big(f(x) + f(y)\big) \geqslant \big(f(f(x)) + y\big) f(y)\] para todo $x, y \in \mathbb R_{>0}$ .

3 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circunferencia circunscrita $\omega$ y circuncentro $O$ . Los puntos $D\neq B$ y $E\neq C$ se encuentran sobre $\omega$ de modo que $BD\perp AC$ y $CE\perp AB$ . La recta $CO$ corta a $AB$ en $X$ , y la recta $BO$ corta a $AC$ en $Y$ . Demuestre que las circunferencias circunscritas de los triángulos $BXD$ y $CYE$ tienen un punto de intersección sobre la recta $AO$ . Ivan Chan Kai Chin, Malasia

4 Sean $a,b,c,d$ enteros positivos que satisfacen \[\frac{ab}{a+b}+\frac{cd}{c+d}=\frac{(a+b)(c+d)}{a+b+c+d}.\] Determine todos los valores posibles de $a+b+c+d$ .

1 El Profesor Oak está alimentando a sus $100$ Pokémon. Cada Pokémon tiene un cuenco cuya capacidad es un número real positivo de kilogramos. Estas capacidades son conocidas por el Profesor Oak. La capacidad total de todos los cuencos es de $100$ kilogramos. El Profesor Oak distribuye $100$ kilogramos de comida de tal manera que cada Pokémon recibe un número entero no negativo de kilogramos de comida (que puede ser mayor que la capacidad del cuenco). El nivel de insatisfacción de un Pokémon que recibió $N$ kilogramos de comida y cuyo cuenco tiene una capacidad de $C$ kilogramos es igual a $\lvert N-C\rvert$ . Halle el número real más pequeño $D$ tal que, independientemente de las capacidades de los cuencos, el Profesor Oak pueda distribuir la comida de manera que la suma de los niveles de insatisfacción sobre todos los $100$ Pokémon sea a lo sumo $D$ . Oleksii Masalitin, Ucrania

Sea $ABC$ un triángulo rectángulo con ángulo recto en $\angle BAC$ y $AB = \frac12 BC$. Sea $D$ el punto medio de $BC$ y $E$ el punto en el mismo semiplano que $A$ respecto a la recta $BC$ tal que $DE = AB$. Desde el punto $E$, la perpendicular a $AC$ la corta en el punto $F$. La recta $DF$ interseca a $AE$ en el punto $G$. Demuestra que $GD$ es perpendicular a $AE$.

2 Una sucesión de enteros $a_0, a_1 …$ se llama kawaii si $a_0 =0, a_1=1,$ y $$(a_{n+2}-3a_{n+1}+2a_n)(a_{n+2}-4a_{n+1}+3a_n)=0$$ para todo entero $n \geq 0$ . Un entero se llama kawaii si pertenece a alguna sucesión kawaii. Suponga que dos enteros consecutivos $m$ y $m+1$ son ambos kawaii (no necesariamente pertenecientes a la misma sucesión kawaii). Demuestre que $m$ es divisible por $3,$ y que $m/3$ también es kawaii.

3 Sea $N$ un entero positivo, y considere una cuadrícula de $N \times N$ . Un camino derecha-abajo es una sucesión de celdas de la cuadrícula tal que cada celda está una celda a la derecha o una celda debajo de la celda anterior en la sucesión. Un camino derecha-arriba es una sucesión de celdas de la cuadrícula tal que cada celda está una celda a la derecha o una celda encima de la celda anterior en la sucesión. Demuestre que las celdas de la cuadrícula de $N \times N$ no pueden particionarse en menos de $N$ caminos derecha-abajo o derecha-arriba. Por ejemplo, la siguiente partición de la cuadrícula de $5 \times 5$ usa $5$ caminos. [asy] size(4cm); draw((5,-1)--(0,-1)--(0,-2)--(5,-2)--(5,-3)--(0,-3)--(0,-4)--(5,-4),gray+linewidth(0.5)+miterjoin); draw((1,-5)--(1,0)--(2,0)--(2,-5)--(3,-5)--(3,0)--(4,0)--(4,-5),gray+linewidth(0.5)+miterjoin); draw((0,0)--(5,0)--(5,-5)--(0,-5)--cycle,black+linewidth(2.5)+miterjoin); draw((0,-1)--(3,-1)--(3,-2)--(1,-2)--(1,-4)--(4,-4)--(4,-3)--(2,-3)--(2,-2),black+linewidth(2.5)+miterjoin); draw((3,0)--(3,-1),black+linewidth(2.5)+miterjoin); draw((1,-4)--(1,-5),black+linewidth(2.5)+miterjoin); draw((4,-3)--(4,-1)--(5,-1),black+linewidth(2.5)+miterjoin); [/asy] Propuesto por Zixiang Zhou, Canadá

4 Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico con $\angle BAD < \angle ADC$ . Sea $M$ el punto medio del arco $CD$ que no contiene a $A$ . Suponga que existe un punto $P$ en el interior de $ABCD$ tal que $\angle ADB = \angle CPD$ y $\angle ADP = \angle PCB$ . Demuestre que las rectas $AD, PM$ y $BC$ son concurrentes.