4 Supón que $\, q_{0}, \, q_{1}, \, q_{2}, \ldots \; \,$ es una sucesión infinita de enteros que satisface las siguientes dos condiciones: (i) $\, m-n \,$ divide a $\, q_{m}-q_{n}\,$ para $\, m > n \geq 0,$ (ii) existe un polinomio $\, P \,$ tal que $\, |q_{n}| < P(n) \,$ para todo $\, n$ Demuestra que existe un polinomio $\, Q \,$ tal que $\, q_{n}= Q(n) \,$ para todo $\, n$ .

5 Supón que en cierta sociedad, cada par de personas puede clasificarse como amistoso u hostil. Diremos que cada miembro de un par amistoso es amigo del otro, y cada miembro de un par hostil es enemigo del otro. Supón que la sociedad tiene $\, n \,$ personas y $\, q \,$ pares amistosos, y que para cada conjunto de tres personas, al menos un par es hostil. Demuestra que hay al menos un miembro de la sociedad cuyos enemigos incluyen $\, q(1 - 4q/n^2) \,$ o menos pares amistosos.

1 Sea $\, k_1 < k_2 < k_3 < \cdots \,$ enteros positivos, sin dos consecutivos, y sea $\, s_m = k_1 + k_2 + \cdots + k_m \,$ para $\, m = 1,2,3, \ldots \; \;$ . Demuestra que, para cada entero positivo $\, n, \,$ el intervalo $\, [s_n, s_{n+1}) \,$ contiene al menos un cuadrado perfecto.

2 Los lados de un 99-gono están inicialmente coloreados de modo que los lados consecutivos son rojo, azul, rojo, azul, $\,\ldots, \,$ rojo, azul, amarillo. Hacemos una secuencia de modificaciones en la coloración, cambiando el color de un lado a la vez a uno de los tres colores dados (rojo, azul, amarillo), bajo la restricción de que no dos lados adyacentes pueden ser del mismo color. ¿Haciendo una secuencia de tales modificaciones, es posible llegar a la coloración en la que los lados consecutivos son rojo, azul, rojo, azul, rojo, azul, $\, \ldots, \,$ rojo, amarillo, azul?

3 Un hexágono convexo $ABCDEF$ está inscrito en un círculo tal que $AB = CD = EF$ y las diagonales $AD$, $BE$ y $CF$ son concurrentes. Sea $P$ la intersección de $AD$ y $CE$. Demuestra que $CP/PE = (AC/CE)^2$.

4 Sea $\, a_1, a_2, a_3, \ldots \,$ una sucesión de números reales positivos que satisface $\, \sum_{j=1}^n a_j \geq \sqrt{n} \,$ para todo $\, n \geq 1$ . Demuestra que, para todo $\, n \geq 1, \,$ \[ \sum_{j=1}^n a_j^2 > \frac{1}{4} \left( 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n} \right). \]

5. Sean \( |U|, \sigma(U) \) y \( \pi(U) \) el número de elementos, la suma y el producto, respectivamente, de un conjunto finito \( U \) de enteros positivos. (Si \( U \) es el conjunto vacío, \( |U| = 0, \, \sigma(U) = 0, \, \pi(U) = 1 \).) Sea \( S \) un conjunto finito de enteros positivos. Como es usual, sea \( \binom{n}{k} \) que denota \( \frac{n!}{k! \, (n-k)!} \). Demuestra que \[ \sum_{U \subseteq S} (-1)^{|U|} \binom{m - \sigma(U)}{|S|} = \pi(S) \] para todos los enteros \( m \geq \sigma(S) \).

1 Para cada entero $\, n \geq 2, \,$ determina, con demostración, cuál de los dos números reales positivos $\, a \,$ y $\, b \,$ que satisfacen \[ a^n = a + 1, \hspace{.3in} b^{2n} = b + 3a \] es mayor.

2 Sea \(ABCD\) un cuadrilátero convexo tal que las diagonales \(AC\) y \(BD\) se intersectan en ángulos rectos, y sea \(E\) su intersección. Demuestra que las reflexiones de \(E\) a través de \(AB, BC, CD, DA\) son concíclicas.

3 Considera funciones \( f: [0,1] \rightarrow \mathbb{R} \) que satisfacen (i) \( f(x) \geq 0 \) para todo \( x \) en \( [0,1] \), (ii) \( f(1) = 1 \), (iii) \( f(x) + f(y) \leq f(x+y) \) siempre que \( x, y \) y \( x+y \) estén todos en \( [0,1] \). Encuentra, con demostración, la constante más pequeña \( c \) tal que \[ f(x) \leq cx \] para toda función \( f \) que satisfaga (i)-(iii) y para todo \( x \) en \( [0,1] \).