6 Halle todos los enteros $n\geq 3$ tales que existe un $n$-gono convexo $A_1A_2\dots A_n$ que satisface las siguientes condiciones: - Todos los ángulos interiores del polígono son iguales - No todos los lados del polígono son iguales - Existe un triángulo $T$ y un punto $O$ dentro del polígono tales que los $n$ triángulos $OA_1A_2,\ OA_2A_3,\ \dots,\ OA_{n-1}A_n,\ OA_nA_1$ son todos semejantes a $T$, no necesariamente en el mismo orden de vértices.

4 Sea $n$ un entero positivo. En un jardín de $n\times n$, se construirá una fuente con plataformas de $1\times 1$ que cubren todo el jardín. Ana coloca todas las plataformas a alturas distintas. Después, Beto coloca manantiales de agua en algunas de las plataformas. El agua de cada plataforma puede fluir a otras plataformas que compartan un lado solo si estas tienen una altura menor. Beto gana si llena todas las plataformas de agua. Halle el menor número de manantiales de agua que Beto necesita para ganar sin importar cómo coloque Ana las plataformas.

1 Un conjunto de cinco enteros positivos distintos se llama virtual si el máximo común divisor de cualesquiera tres de sus elementos es mayor que $1$, pero el máximo común divisor de cualesquiera cuatro de sus elementos es igual a $1$. Demuestre que, en cualquier conjunto virtual, el producto de sus elementos tiene al menos $2020$ divisores positivos distintos. Propuesto por Víctor Almendra

2013 g5 Dado un cuadrilátero convexo, halle las condiciones necesarias y suficientes para que el doble de su área, la semidiferencia de la suma de los cuadrados de los dos pares de lados consecutivos y el producto de sus diagonales formen una terna pitagórica en ese orden. Nota: Una terna pitagórica en el siguiente orden: $a, b$ y $c$ , significa que $a^2 + b^2 = c^2$

4 Sea $ABC$ un triángulo escaleno acutángulo con $\angle BAC = 60^{\circ}$ y ortocentro $H$. Sea $\omega_b$ la circunferencia que pasa por $H$ y es tangente a $AB$ en $B$, y $\omega_c$ la circunferencia que pasa por $H$ y es tangente a $AC$ en $C$. Demuestre que $\omega_b$ y $\omega_c$ solo tienen a $H$ como punto común. Demuestre que la recta que pasa por $H$ y el circuncentro $O$ del triángulo $ABC$ es una tangente común a $\omega_b$ y $\omega_c$. Nota: El ortocentro de un triángulo es el punto de intersección de las tres alturas, mientras que el circuncentro de un triángulo es el centro de la circunferencia que pasa por sus tres vértices.

5 Si $n=\overline{a_1a_2\cdots a_{k-1}a_k}$, sea $s(n)$ definido de la siguiente manera. Si $k$ es par, $s(n)=\overline{a_1a_2}+\overline{a_3a_4}\cdots+\overline{a_{k-1}a_k}$. Si $k$ es impar, $s(n)=a_1+\overline{a_2a_3}\cdots+\overline{a_{k-1}a_k}$. Por ejemplo, $s(123)=1+23=24$ y $s(2021)=20+21=41$. $n$ es $digital$ si $s(n)$ es un divisor de $n$. Demuestre que entre cualesquiera 198 enteros positivos consecutivos, todos ellos menores que 2000021, hay uno que es $digital$.

2 Sea $ABC$ un triángulo con incentro $I$. La recta $BI$ corta a $AC$ en $D$. Sea $P$ un punto sobre $CI$ tal que $DI=DP$ ($P\ne I$), $E$ el segundo punto de intersección del segmento $BC$ con la circunferencia circunscrita de $ABD$ y $Q$ el segundo punto de intersección de la recta $EP$ con la circunferencia circunscrita de $AEC$. Demuestre que $\angle PDQ=90^\circ$. Propuesto por Ariel García

3 Sea $n\ge 3$ un entero. Dos jugadores, Ana y Beto, juegan el siguiente juego. Ana etiqueta los vértices de un $n$ -ágono regular con los números del $1$ al $n$ , en el orden que ella quiera. Cada vértice debe ser etiquetado con un número distinto. Luego, colocamos un pavo en cada uno de los $n$ vértices. Estos pavos están entrenados para lo siguiente. Si Beto silba, cada pavo se mueve al vértice adyacente con la etiqueta mayor. Si Beto aplaude, cada pavo se mueve al vértice adyacente con la etiqueta menor. Beto gana si, después de cierto número de silbidos y aplausos, logra mover todos los pavos al mismo vértice. Ana gana si puede etiquetar los vértices de modo que Beto no pueda hacer esto. Para cada $n\ge 3$ , determine qué jugador tiene una estrategia ganadora. Propuesto por Victor e Isaías de la Fuente

4 Sea $n\ge 3$ un entero. En un juego hay $n$ cajas dispuestas en un arreglo circular. Al principio, cada caja contiene un objeto que puede ser piedra, papel o tijera, de tal manera que no hay dos cajas adyacentes con el mismo objeto, y cada objeto aparece en al menos una caja. Como en el juego, la piedra vence a la tijera, la tijera vence al papel y el papel vence a la piedra. El juego consiste en mover objetos de una caja a otra de acuerdo con la siguiente regla: se eligen dos cajas adyacentes y un objeto de cada una, de tal manera que estos sean distintos, y movemos el objeto perdedor a la caja que contiene al objeto ganador. Por ejemplo, si elegimos piedra de la caja A y tijera de la caja B, movemos la tijera a la caja A. Demuestre que, aplicando la regla suficientes veces, es posible mover todos los objetos a la misma caja. Propuesto por Victor de la Fuente

5 Un conjunto $\{a, b, c, d\}$ de cuatro elementos de enteros positivos se llama bueno si hay dos de ellos tales que su producto es un múltiplo del máximo común divisor de los otros dos. Por ejemplo, el conjunto $\{2, 4, 6, 8\}$ es bueno, ya que el máximo común divisor de $2$ y $6$ es $2$ , y divide a $4\times 8=32$ . Encuentre el mayor valor posible de $n$ tal que todo conjunto de cuatro elementos cuyos elementos sean menores o iguales que $n$ sea bueno. Propuesto por Victor e Isaías de la Fuente