1 a) $k$ es un entero. Demuestre que el número $$(2k+1)^3-(2k-1)^3$$ puede expresarse como la suma de tres cuadrados de enteros. b) $n$ es un número natural. Demuestre que el número $$(2n+1)^3-2$$ puede expresarse como la suma de $3n-1$ elementos, cada uno de los cuales es el cuadrado de un número natural mayor que uno.

2 En un cuadrado blanco $7\times 7$ dividido en casillas unitarias, $29$ casillas están sombreadas. Demuestre que siempre es posible encontrar una «esquina» formada por tres casillas sombreadas.

3 Dos vértices adyacentes de un cuadrado están sobre una circunferencia de radio $1$ . Denote por $M$ la distancia máxima que un vértice del cuadrado tiene desde el centro de la circunferencia. a) Demuestre que $\sqrt5 < M <\sqrt7$ b) Halle $M$ resultado $1+\sqrt2$

4 La función $f(x)$ está definida para números positivos, toma valores positivos y satisface la ecuación $$ f(x)f(y)=f(xy)+f\left(\frac{x}{y}\right).$$ a) Mencione al menos tres de tales funciones. b) Demuestre que $f(x) \ge 2$ , $f(1)=2$ . c) Demuestre que si $f(x)$ satisface la condición, entonces la función $f^2(x)-2$ también la satisface.

1 Resuelva el sistema de ecuaciones: $\left\{ \begin{aligned} x^4+y^2-xy^3-\frac{9}{8}x = 0 \\ y^4+x^2-yx^3-\frac{9}{8}y=0 \end{aligned} \right.$

2 Dos circunferencias son tangentes exteriormente en un punto $B$ . Una recta tangente a una de las circunferencias en un punto $A$ interseca a la otra circunferencia en los puntos $C$ y $D$ . Demuestre que $A$ es equidistante de las rectas $BC$ y $BD$ .

3 Demuestre que si $a+b+c=0$ , entonces $(\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b})(\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}+\frac{a-b}{c})=9$ .

4 Halle la cardinalidad máxima $|S|$ del subconjunto $S \subset A=\{1, 2, 3, \dots, 9\}$ dado que no hay dos sumas $a+b | a, b \in S, a \neq b$ que sean iguales.

1 Dados $2005$ números $$1^2 \,\,\, 2^2 \,\,\,3^2 \,\,\,... \,\,\,2005^2$$ Cada uno de ellos puede ir precedido de $+$ o $-$ . ¿Cuál es el número no negativo más pequeño que se puede obtener al realizar las operaciones aritméticas?

4 Un tablero rectangular $6\times 9$ está formado por $54$ casillas iguales, en cada una de las cuales se puede colocar una ficha. a) ¿Es posible colocar las fichas de tal manera que el número de fichas en cualesquiera dos cuadrados $4\times 4$ sea diferente? b) ¿Es posible colocar las fichas de tal manera que el número de fichas en cualesquiera dos cuadrados $5\times 5$ sea diferente?