1 En un triángulo $ABC$ , sea $I$ su incentro; $Q$ el punto en el que la circunferencia inscrita toca a la recta $AC$ ; $E$ el punto medio de $AC$ y $K$ el ortocentro del triángulo $BIC$ . Demuestre que la recta $KQ$ es perpendicular a la recta $IE$ .

2 Para $j=1,2,3$ sean $x_{j},y_{j}$ números reales no nulos, y sea $v_{j}=x_{j}+y_{j}$ . Suponga que se cumplen las siguientes afirmaciones: $x_{1}x_{2}x_{3}=-y_{1}y_{2}y_{3}$ $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^2$ $v_{1},v_{2},v_{3}$ satisfacen la desigualdad triangular $v_{1}^{2},v_{2}^{2},v_{3}^{2}$ también satisfacen la desigualdad triangular. Demuestre que exactamente uno de $x_{1},x_{2},x_{3},y_{1},y_{2},y_{3}$ es negativo.

3 Sea $r$ un entero positivo, y sea $a_0 , a_1 , \cdots $ una sucesión infinita de números reales. Suponga que para todos los enteros no negativos $m$ y $s$ existe un entero positivo $n \in [m+1, m+r]$ tal que \[ a_m + a_{m+1} +\cdots +a_{m+s} = a_n + a_{n+1} +\cdots +a_{n+s} \] Demuestre que la sucesión es periódica, es decir, existe algún $p \ge 1 $ tal que $a_{n+p} =a_n $ para todo $n \ge 0$ .

1 En un triángulo $ABC$ , con $AB\neq AC$ y $A\neq 60^{0},120^{0}$ , $D$ es un punto de la recta $AC$ distinto de $C$ . Suponga que los circuncentros y los ortocentros de los triángulos $ABC$ y $ABD$ se encuentran sobre una circunferencia. Demuestre que $\angle ABD=\angle ACB$ .

2 Determine si existe una sucesión infinita de dígitos no nulos $a_1 , a_2 , a_3 , \cdots $ y un entero positivo $N$ tales que para todo entero $k > N$ , el número $\overline{a_k a_{k-1}\cdots a_1 }$ es un cuadrado perfecto.

3 ¿De cuántas maneras se pueden colocar torres en un tablero de ajedrez de $8$ por $8$ de modo que cada fila y cada columna tenga al menos una torre? (Se dispone de cualquier número de torres, cada casilla puede tener a lo sumo una torre y no hay relación de ataque entre ellas)

1 Demuestre que en cualquier conjunto de $2000$ números reales distintos existen dos pares $a>b$ y $c>d$ con $a \neq c$ o $b \neq d $ , tales que \[ \left| \frac{a-b}{c-d} - 1 \right|< \frac{1}{100000}. \]

2 Halle todos los enteros positivos $x$ y $y$ tales que $x^{x+y}=y^{3x}$ .

3 Sea $ABC$ un triángulo con $\angle B > \angle C$ . Sean $P$ y $Q$ dos puntos distintos sobre la recta $AC$ tales que $\angle PBA = \angle QBA = \angle ACB $ y $A$ está situado entre $P$ y $C$ . Suponga que existe un punto interior $D$ del segmento $BQ$ para el cual $PD=PB$ . Sea el rayo $AD$ que interseca a la circunferencia $ABC$ en $R \neq A$ . Demuestre que $QB = QR$ .

1 Para un primo $p$ , un número natural $n$ y un entero $a$ , denotamos por $S_n(a,p)$ el exponente de $p$ en la factorización prima de $a^{p^n} - 1$ . Por ejemplo, $S_1(4,3) = 2$ y $S_2(6,2) = 0$ . Halle todos los pares $(n,p)$ tales que $S_n(2013,p) = 100$ .