4 Algunas personas se conocen entre sí en un grupo de personas, donde "conocerse" es una relación simétrica. Decimos que una persona es $social$ si conoce al menos a $20$ otras personas y al menos $2$ de esas $20$ se conocen entre sí. Decimos que una persona es $shy$ (tímida) si no conoce al menos a $20$ otras personas y al menos $2$ de esas $20$ no se conocen entre sí. Halle el número máximo de personas en ese grupo, si sabemos que el grupo no tiene ninguna persona $social$ ni $shy$ .

1 Determine todos los números reales $a, b, c, d$ para los cuales $$ab + c + d = 3$$ $$bc + d + a = 5$$ $$cd + a + b = 2$$ $$da + b + c = 6$$

2 Sean $p, q, r$ números primos y $t, n$ números naturales tales que $p^2 +qt =(p + t)^n$ y $p^2 + qr = t^4$ . a) Muestre que $n < 3$ . b) Determine todos los números $p, q, r, t, n$ que satisfacen las condiciones dadas.

3 En el cuadrilátero convexo $ABCD$ , $AD = BD$ y $\angle ACD = 3 \angle BAC$ . Sea $M$ el punto medio del lado $AD$ . Si las rectas $CM$ y $AB$ son paralelas, demuestre que el ángulo $\angle ACB$ es recto.

1 Sobre la circunferencia $k$ hay puntos $A$ , $B$ , $C$ , $D$ y $E$ en sentido horario tales que $\angle ABE = \angle BEC = \angle ECD = 45^{\circ}$ . Demuestre que $AB^2 + CE^2 = BE^2 + CD^2$

4 Sea $n$ un número natural no nulo y sea $S = \{1, 2, . . . , n\}$ . Un tablero $3 \times n$ se llama hermoso si puede completarse con números del conjunto $S$ de la siguiente manera, siempre que se cumplan las siguientes condiciones: $\bullet$ en cada línea, cada número del conjunto S aparece exactamente una vez; $\bullet$ en cada columna, la suma de los productos de dos números de esa columna es divisible por $n$ (es decir, si los números $a, b, c$ están escritos en una columna, debe cumplirse que $ab + bc + ca$ sea divisible por $n$ ) . ¿Para qué valores del número natural $n$ existen tableros hermosos y para qué valores no existen? Justifique su respuesta.

2 Un tablero $n \times n$ está dividido en $n^2$ casillas unitarias y en cada casilla unitaria está escrito un número. Un tablero así se llama interesante si se cumplen las siguientes condiciones: $\circ$ En todas las casillas unitarias por debajo de la diagonal principal está escrito el número $0$ ; $\circ$ En todas las demás casillas unitarias están escritos enteros positivos. $\circ$ Cuando observamos las sumas de todas las $n$ filas y las sumas de todas las $n$ columnas, esos $2n$ números son precisamente los números $1,2,...,2n$ (no necesariamente en ese orden). $a)$ Determine el mayor número que puede aparecer en un tablero interesante $6 \times 6$ . $b)$ Demuestre que no existe ningún tablero interesante de dimensiones $7\times 7$ .

3 La bisectriz del $\angle ABC$ del triángulo $ABC$ ( $AB>BC$ ) corta a la circunferencia circunscrita de ese triángulo en $K$ . El pie de la perpendicular desde $K$ a $AB$ es $N$ , y $P$ es el punto medio de $BN$ . La recta que pasa por $P$ paralela a $BC$ corta a la recta $BK$ en $T$ . Demuestre que la recta $NT$ pasa por el punto medio de $AC$ .

4 Determine el mayor entero positivo $n$ tal que se cumple la siguiente afirmación: si $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6$ son seis enteros positivos distintos menores o iguales que $n$ , entonces existen $3$ enteros positivos distintos, entre esos seis, digamos $a,b,c$ , tales que $ab>c,bc>a,ca>b$ .

1 Sean $x,y,z$ números reales ( $x \ne y$ , $y\ne z$ , $x\ne z$ ) distintos de $0$ . Si $\frac{x^2-yz}{x(1-yz)}=\frac{y^2-xz}{y(1-xz)}$ , demuestre que se cumple la siguiente relación: $$x+y+z=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}.$$