5 Sean $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ enteros positivos distintos tales que $a^4+b^4=c^4+d^4=e^5$. Demuestra que $ac+bd$ es un número compuesto.

Considera $0<\lambda<1$, y sea $A$ un multiconjunto de enteros positivos. Sea $A_n=\{a\in A: a\leq n\}$. Supón que para cada $n\in\mathbb{N}$, el conjunto $A_n$ contiene a lo más $n\lambda$ números. Demuestra que hay infinitos $n\in\mathbb{N}$ para los cuales la suma de los elementos en $A_n$ es a lo más $\frac{n(n+1)}{2}\lambda$. (Un multiconjunto es una colección tipo conjunto de elementos en la que se ignora el orden, pero se permite la repetición de elementos y la multiplicidad de los elementos es significativa. Por ejemplo, los multiconjuntos $\{1, 2, 3\}$ y $\{2, 1, 3\}$ son equivalentes, pero $\{1, 1, 2, 3\}$ y $\{1, 2, 3\}$ difieren.)

1 Sean $a$, $b$, $c$, $d$ números reales tales que $b-d \ge 5$ y todas las raíces $x_1, x_2, x_3$ y $x_4$ del polinomio $P(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$ son reales. Encuentra el menor valor que puede tomar el producto $(x_1^2+1)(x_2^2+1)(x_3^2+1)(x_4^2+1)$.

2 Sea $\mathbb{Z}$ el conjunto de los enteros. Encuentra todas las funciones $f : \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ tales que \[xf(2f(y)-x)+y^2f(2x-f(y))=\frac{f(x)^2}{x}+f(yf(y))\] para todos $x, y \in \mathbb{Z}$ con $x \neq 0$.

3 Demuestra que existe un conjunto infinito de puntos \[ \dots, \; P_{-3}, \; P_{-2},\; P_{-1},\; P_0,\; P_1,\; P_2,\; P_3,\; \dots \] en el plano con la siguiente propiedad: Para cualesquiera tres enteros distintos $a,b,$ y $c$, los puntos $P_a$, $P_b$ y $P_c$ son colineales si y solo si $a+b+c=2014$.

8.1 Oleksiy colocó enteros positivos en las casillas del tablero de ajedrez $8\times 8$ . Para cada par de casillas adyacentes por un lado, Fedir escribió el producto de los números que hay en ellas y sumó todos los productos. Oleksiy escribió la suma de los números de cada par de casillas adyacentes por un lado y multiplicó todas las sumas. Resultó que los últimos dígitos de ambos números son iguales a $1$ . Demuestre que al menos uno de los muchachos cometió un error en el cálculo. Por ejemplo, para un cuadrado $3\times 3$ y la disposición de números que se muestra abajo, Fedir escribiría los siguientes números: $2, 6, 8, 24, 15, 35, 2, 6, 8, 20, 18, 42$ , y su suma termina con el dígito $6$ ; Oleksiy escribiría los siguientes números: $3, 5, 6, 10, 8, 12, 3, 5, 6, 9, 9, 13$ , y su producto termina con el dígito $0$ . \begin{tabular}{| c| c | c |} \hline 1 & 2 & 3 \\ \hline 2 & 4 & 6 \\ \hline 3 & 5 & 7 \\ \hline \end{tabular} Propuesto por Oleksiy Masalitin y Fedir Yudin

8.2 En cierto país se realizó un torneo de tenis de una sola ronda (todos jugaron contra todos exactamente una vez). Los participantes recibieron $1$ punto por ganar un partido y $0$ puntos por perderlo. En el tenis no hay empates. Al final del torneo, Oleksiy vio la cantidad de puntos obtenidos por cada participante, así como el calendario de todos los partidos del torneo, que mostraba las parejas de jugadores, pero no a los ganadores. Él elige los partidos uno por uno en el orden que quiera e intenta adivinar al ganador, tras lo cual le dicen si acertó. Demuestre que Oleksiy puede actuar de tal manera que tenga garantizado adivinar a los ganadores de más de la mitad de los partidos. Propuesto por Oleksiy Masalitin

8.3 Los enteros positivos $x, y$ satisfacen las siguientes condiciones: $$\{\sqrt{x^2 + 2y}\}> \frac{2}{3}; \hspace{10mm} \{\sqrt{y^2 + 2x}\}> \frac{2}{3}$$ Muestre que $x = y$ . Aquí $\{x\}$ denota la parte fraccionaria de $x$ . Por ejemplo, $\{3.14\} = 0.14$ . Propuesto por Anton Trygub

8.4 Se elige un punto $T$ en el plano de un rombo $ABCD$ de modo que $\angle ATC + \angle BTD = 180^\circ$ , y las circunferencias circunscritas de los triángulos $ATC$ y $BTD$ son tangentes entre sí. Muestre que $T$ es equidistante de las diagonales de $ABCD$ . Propuesto por Fedir Yudin

8.5 ¿Existen $10$ números reales, no todos iguales, cada uno de los cuales es igual al cuadrado de la suma de los otros $9$ números? Propuesto por Bogdan Rublov