3 Para $a,b,c>0$ tenemos: \[ -1 < \left(\dfrac{a-b}{a+b}\right)^{1993} + \left(\dfrac{b-c}{b+c}\right)^{1993} + \left(\dfrac{c-a}{c+a}\right)^{1993} < 1 \]

4 Defina la sucesión $oa_n$ de la siguiente manera: $oa_0=1, oa_n= oa_{n-1} \cdot cos\left( \dfrac{\pi}{2^{n+1}} \right)$ . Halle $\lim\limits_{n\rightarrow+\infty} oa_n$ .

2 Al trazar todas las diagonales de un pentágono regular, se obtiene un pentágono más pequeño en el medio. ¿Cuál es la razón de las áreas de esos pentágonos?

2 Un policía se ha enterado de que se reunirán 5 gánsteres (todos de distinta estatura), uno de los cuales es el jefe del clan, el más alto de los 5. Sabe que los miembros saldrán del edificio uno por uno, con un descanso de 10 minutos entre ellos, y por desgracia para él Bélgica no tiene suficientes policías para seguir a todos los gánsteres, así que está solo para identificar al jefe del clan, y solo puede seguir a un miembro. Por lo tanto, decide dejar pasar a las primeras 2 personas y luego seguir a la primera que sea más alta que esas dos. ¿Cuál es la probabilidad de que de esta manera capture efectivamente al jefe del clan?

3 Una esfera está inscrita en un cono cuya apotema es igual a $A$ . El círculo de tangencia de la esfera y el cono determina el extremo superior de un cilindro inscrito en la esfera. Suponga que el área total del cono (tanto la superficie lateral como la base) es igual a nueve veces el área de un círculo máximo de la esfera. Suponga además que la apotema del cono es mayor que la mitad del perímetro de la base del cono. Determine la altura del cilindro en función de $A$ . https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/4/d/4c9fc9eefee5e14d4a5028832e34e48b882b81.png

4 Sean $A,B,P$ reales positivos con $P\le A+B$ . (a) Elija reales $\theta_1,\theta_2$ con $A\cos\theta_1 + B\cos\theta_2=P$ y demuestre que \[ A\sin\theta_1 + B\sin\theta_2 \le \sqrt{(A+B-P)(A+B+P)} \] (b) Demuestre que la igualdad se alcanza cuando $\theta_1=\theta_2=\arccos\left(\dfrac{P}{A+B}\right)$ . (c) Tome $A=\dfrac{1}{2}xy, B=\dfrac{1}{2}wz$ y $P=\dfrac14 \left(x^2+y^2-z^2-w^2\right)$ con $0<x\le y\le x+z+w$ , $z,w>0$ y $z^2+w^2<x^2+y^2$ . Muestre que podemos traducir (a) y (b) en el siguiente teorema: de todos los cuadriláteros con longitudes de los lados (ordenadas) $(x,y,z,w)$ , el cíclico tiene la mayor área.

2 (a) Demuestre que para todo $n\in\mathbb{N}$ existe exactamente un $x\in\mathbb{R}^+$ tal que $x^n+x^{n+1}=1$ . Llame a este $x_n$ . (b) Halle $\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}x_n$ .

3 Dado un triángulo equilátero $\Delta ABC$ , con $X\in[A,B]$ . Entonces definimos puntos únicos Y,Z tales que $Y\in[B,C]$ , $Z\in[A,C]$ , $\Delta XYZ$ equilátero. Si $Area\left(\Delta ABC\right) = 2 \cdot Area\left(\Delta XYZ\right)$ , halle la razón $\frac{AX}{XB},\frac{BY}{YC},\frac{CZ}{ZA}$ .

4 Una palabra de longitud $n$ que consiste solo en los dígitos $0$ y $1$ se denomina cadena de bits de longitud $n$ . (Por ejemplo, $000$ y $01101$ son cadenas de bits de longitud 3 y 5.) Considere la sucesión $s(1), s(2), ...$ de cadenas de bits de longitud $n > 1$ que se obtiene de la siguiente manera : (1) $s(1)$ es la cadena de bits $00...01$ , que consiste en $n - 1$ ceros y un $1$ ; (2) $s(k+1)$ se obtiene de la siguiente manera : (a) Elimine el dígito de la izquierda de $s(k)$ . Esto da una cadena de bits $t$ de longitud $n - 1$ . (b) Examine si la cadena de bits $t1$ (de longitud $n$ , añadiendo un $1$ después de $t$ ) ya está en $\{s(1), s(2), ..., s(k)\}$ . Si este no es el caso, entonces $s(k+1) = t1$ . Si este es el caso, entonces $s(k+1) = t0$ . Por ejemplo, si $n = 3$ obtenemos : $s(1) = 001 \rightarrow s(2) = 011 \rightarrow s(3) = 111 \rightarrow s(4) = 110 \rightarrow s(5) = 101$ $\rightarrow s(6) = 010 \rightarrow s(7) = 100 \rightarrow s(8) = 000 \rightarrow s(9) = 001 \rightarrow ...$ Suponga $N = 2^n$ . Demuestre que las cadenas de bits $s(1), s(2), ..., s(N)$ de longitud $n$ son todas distintas.

1 Sobre el círculo unitario estándar, dibuje $4$ círculos unitarios con centros $[0,1]$ , $[1,0]$ , $[0,-1] $ , $[-1,0]$ . Se obtiene una figura como la siguiente; halle el área de la parte coloreada. https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/6/1/a479365778b8a1d10373a47a4f698150e0633f.png