Determine el menor entero positivo $n$ para el cual la siguiente afirmación es verdadera: Si los enteros positivos $a$ y $b$ son tales que $a + b$ es un múltiplo de $100$ y $ab$ es un múltiplo de $n$ , entonces cada uno de los números $a$ y $b$ es un múltiplo de $100$ .

Llamamos hermoso a un entero positivo \( n\ge 4 \) si existe alguna permutación \[ \{x_1,x_2,\dots ,x_{n-1}\} \] de \(\{1,2,\dots ,n-1\}\) tal que \[ \{x^1_1,\ x^2_2,\ \dots,x^{n-1}_{n-1}\} \] da todos los residuos \(\{1,2,\dots, n-1\}\) módulo \( n \). Demuestra que si \( n \) es hermoso entonces \( n=2p, \) para algún número primo \( p. \)

5 Encuentra todas las funciones \( f: \mathbb{Z^+} \to \mathbb{Z^+} \) tales que para todos los enteros \( a, b, c \) se cumple $$ af(bc)+bf(ac)+cf(ab)=(a+b+c)f(ab+bc+ac). $$ Nota. El conjunto \( \mathbb{Z^+} \) se refiere al conjunto de los enteros positivos. Propuesto por Mojtaba Zare, Irán

4 Dados los enteros positivos \(a,b,\) encuentra el menor entero positivo \(m\) tal que entre cualesquiera \(m\) enteros distintos en el intervalo \([-a,b]\) haya tres números distintos por pares cuya suma sea cero. Propuesto por Marian Tetiva, Rumania.

3 $Abdulqodir$ recortó $2024$ $n$-ágonos regulares congruentes de una hoja de papel y colocó estos $n$-ágonos sobre la mesa de modo que algunas partes de cada uno de estos $n$-ágonos puedan quedar cubiertas por otros. Decimos que un vértice de uno de los $n$-ágonos mencionados es $visible$ si no está en el interior de otro $n$-ágono que esté colocado encima de él. Para cualquier $n>2$, determina el número mínimo posible de vértices visibles. Propuesto por David Hrushka, Eslovaquia

Sea $BXC$ un triángulo y $A_1, A_2, A_3$ puntos en el mismo plano tales que $X$ es el ortocentro del triángulo $A_1BC$ , $X$ es el incentro del triángulo $A_2BC$ y $X$ es el baricentro del triángulo $A_3BC$ . Si la recta $A_1A_3$ es paralela a $BC$ , demuestre que $A_2$ es el punto medio del segmento $A_1A_3$ .

Miguel tiene una lista formada por varios subconjuntos de 10 elementos del conjunto ${1,2,\dots,100}$ . Le dice a Cecilia: "Si eliges cualquier subconjunto de 10 elementos de ${1,2,\dots,100}$ , será disjunto con al menos un subconjunto de mi lista." ¿Cuál es el menor número posible de subconjuntos que puede tener la lista de Miguel si lo que le dice a Cecilia es verdadero?

Un par ordenado $(a, b)$ de enteros positivos se llama \textit{decianimal} cuando $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ es igual a una fracción decimal $\frac{m}{10}$ , con $\gcd(m, 10) = 1$ . Halle todos los pares decianimales.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico. Suponga que los rayos $BC$ y $AD$ se intersecan en el punto $P$ , y $Q$ es un punto del plano tal que $P$ es el punto medio del segmento $BQ$ . Se construyen los paralelogramos $CAQR$ y $DBCS$ . Demuestre que los puntos $C$ , $Q$ , $R$ y $S$ se encuentran sobre la misma circunferencia.

Sean $n, a, b$ enteros positivos con $a > b$ , tales que $n^2 + 1 = ab$ . $a)$ Demuestre que $$a - b \geq \sqrt{4n - 3}. \qquad(\star)$$ $b)$ Halle todos los enteros positivos $n$ para los cuales puede darse la igualdad en $(\star)$ .