3 Las diagonales de un cuadrilátero $ ABCD$ son perpendiculares: $ AC \perp BD.$ Sobre sus lados se construyen exteriormente cuatro cuadrados, $ ABEF,BCGH,CDIJ,DAKL,$ Los puntos de intersección de los pares de rectas $ CL, DF, AH, BJ$ se denotan por $ P_1,Q_1,R_1, S_1,$ respectivamente (figura izquierda), y los puntos de intersección de los pares de rectas $ AI, BK, CE DG$ se denotan por $ P_2,Q_2,R_2, S_2,$ respectivamente (figura derecha). Demuestre que $ P_1Q_1R_1S_1 \cong P_2Q_2R_2S_2$ donde $ P_1,Q_1,R_1, S_1$ y $ P_2,Q_2,R_2, S_2$ son los dos cuadriláteros. Formulación alternativa: Exteriormente a un cuadrilátero convexo $ ABCD$ de diagonales perpendiculares se construyen cuatro cuadrados $ AEFB, BGHC, CIJD, DKLA,$ (los vértices se dan en orden antihorario). Demuestre que los cuadriláteros $ Q_1$ y $ Q_2$ formados por las rectas $ AG, BI, CK, DE$ y $ AJ, BL, CF, DH,$ respectivamente, son congruentes.

4 Considere $9$ puntos en el espacio, de los cuales no hay cuatro coplanares. Cada par de puntos está unido por una arista (es decir, un segmento de recta) y cada arista está coloreada de azul o de rojo o queda sin colorear. Halle el menor valor de $\,n\,$ tal que siempre que exactamente $\,n\,$ aristas estén coloreadas, el conjunto de aristas coloreadas contenga necesariamente un triángulo cuyas tres aristas tengan el mismo color.

3 Determine el valor máximo de $m^2+n^2$ , donde $m$ y $n$ son enteros del conjunto $1,2,\ldots,1981$ que satisfacen $(n^2-mn-m^2)^2=1$ .

2023.5 Un círculo es tangente a uno de los lados de un cuadrado y pasa por dos de sus vértices. Determina la razón entre el lado del cuadrado y el radio del círculo.

2 Tome $r$ tal que $1\le r\le n$ , y considere todos los subconjuntos de $r$ elementos del conjunto $\{1,2,\ldots,n\}$ . Cada subconjunto tiene un elemento mínimo. Sea $F(n,r)$ la media aritmética de estos elementos mínimos. Demuestre que: \[ F(n,r)={n+1\over r+1}. \]

5 Un cuadrilátero convexo tiene diagonales iguales. Sobre el exterior de cada lado del cuadrilátero se construye un triángulo equilátero. Se unen los centros de los triángulos situados sobre lados opuestos. Demuestre que las dos rectas de unión son perpendiculares. Formulación alternativa: Dado un cuadrilátero convexo $ ABCD$ con diagonales congruentes $ AC = BD.$ Sobre sus lados se construyen exteriormente cuatro triángulos regulares. Demuestre que los segmentos que unen los baricentros de los triángulos sobre lados opuestos son perpendiculares entre sí. Formulación original: Sea $ ABCD$ un cuadrilátero convexo tal que $ AC = BD.$ Sobre los lados del cuadrilátero se construyen triángulos equiláteros. Sean $ O_1,O_2,O_3,O_4$ los centros de los triángulos construidos sobre $ AB,BC,CD,DA$ respectivamente. Demuestre que $ O_1O_3$ es perpendicular a $ O_2O_4.$

6 Sea $\,{\mathbb{R}}\,$ el conjunto de todos los números reales. Halle todas las funciones $\,f: {\mathbb{R}}\rightarrow {\mathbb{R}}\,$ tales que \[ f\left( x^{2}+f(y)\right) =y+\left( f(x)\right) ^{2}\hspace{0.2in}\text{for all}\,x,y\in \mathbb{R}. \]

7 Dos circunferencias $ \Omega_{1}$ y $ \Omega_{2}$ son tangentes exteriormente entre sí en un punto $ I$ , y ambas circunferencias son tangentes a una tercera circunferencia $ \Omega$ que encierra a las dos circunferencias $ \Omega_{1}$ y $ \Omega_{2}$ . La tangente común a las dos circunferencias $ \Omega_{1}$ y $ \Omega_{2}$ en el punto $ I$ corta a la circunferencia $ \Omega$ en un punto $ A$ . Una tangente común a las circunferencias $ \Omega_{1}$ y $ \Omega_{2}$ que no pasa por $ I$ corta a la circunferencia $ \Omega$ en los puntos $ B$ y $ C$ de modo que los puntos $ A$ e $ I$ están del mismo lado de la recta $ BC$ . Demuestre que el punto $ I$ es el incentro del triángulo $ ABC$ . Formulación alternativa. Dos circunferencias son tangentes exteriormente en un punto $ I$ . Las dos circunferencias están dentro de una circunferencia grande y ambas son tangentes a ella. La cuerda $ BC$ de la circunferencia grande es tangente a las dos circunferencias menores (no en $ I$ ) . La tangente común a las dos circunferencias menores en el punto $ I$ corta a la circunferencia grande en un punto $ A$ , donde los puntos $ A$ e $ I$ están del mismo lado de la cuerda $ BC$ . Demuestre que el punto $ I$ es el incentro del triángulo $ ABC$ .

8 Demuestre que en el plano existe un polígono convexo de 1992 lados que satisface las siguientes condiciones: (i) sus longitudes de lado son $ 1, 2, 3, \ldots, 1992$ en algún orden; (ii) el polígono es circunscribible a una circunferencia. Formulación alternativa: ¿Existe un 1992-ágono con lados de longitudes $ 1, 2, 3, \ldots, 1992$ circunscrito a una circunferencia? Responda la misma pregunta para un 1990-ágono.

9 Sea $ f(x)$ un polinomio con coeficientes racionales y sea $ \alpha$ un número real tal que \[ \alpha^3 - \alpha = [f(\alpha)]^3 - f(\alpha) = 33^{1992}.\] Demuestre que para cada $ n \geq 1,$ \[ \left [ f^{n}(\alpha) \right]^3 - f^{n}(\alpha) = 33^{1992},\] donde $ f^{n}(x) = f(f(\cdots f(x))),$ y $ n$ es un entero positivo.