1. Determina todas las progresiones geométricas tales que el producto de los tres primeros términos es $64$ y la suma de ellos es $14$.

2 Para cada conjunto de cinco enteros $S= \{a_1, a_2, a_3, a_4, a_5\} $ , sea $P_S$ el producto de todas las diferencias entre dos de los elementos, es decir $$P_S=(a_5-a_1)(a_4-a_1)(a_3-a_1)(a_2-a_1)(a_5-a_2)(a_4-a_2)(a_3-a_2)(a_5-a_3)(a_4-a_3)(a_5-a_4)$$ Determina el mayor entero $n$ tal que, dado cualquier conjunto $S$ de cinco enteros, $n$ divide a $P_S$ .

3 Sea $ABC$ un triángulo con incentro $I$. Una recta $r$ que pasa por $I$ interseca las circunferencias circunscritas de los triángulos $AIB$ y $AIC$ en los puntos $P$ y $Q$, respectivamente. Demuestra que el circuncentro del triángulo $APQ$ está sobre la circunferencia circunscrita de $ABC$.

4 En la figura, los triángulos $ABC$ y $CDE$ son equiláteros, con lados de longitud $1$ y $4$, respectivamente. Además, $B$, $C$ y $D$ son colineales, y $F$ y $G$ son puntos medios de $BC$ y $CD$, respectivamente. Sea $P$ el punto de intersección de $AF$ y $BE$. Determina el área del triángulo sombreado $BPG$.

En un tablero de $9\times9$, las casillas están etiquetadas del 11 al 99, donde el primer dígito indica la fila y el segundo la columna. Se quiere pintar las casillas de negro o blanco de manera que cada casilla negra sea adyacente a lo sumo a otra casilla negra y cada casilla blanca sea adyacente a lo sumo a otra casilla blanca. Dos casillas son adyacentes si comparten un lado. ¿De cuántas maneras se puede pintar el tablero de modo que las casillas $44$ y $49$ sean ambas negras?

1 Encuentra todos los enteros positivos $a$, $b$, $n$ y números primos $p$ que satisfacen \[ a^{2013} + b^{2013} = p^n\text{.}\] Propuesto por Matija Bucić.

Un entero positivo $n$ se llama *oeirense* si existen dos enteros positivos $a$ y $b$, no necesariamente distintos, tales que $n = a^2 + b^2$. Determina el mayor entero $k$ tal que existen infinitos enteros positivos $n$ para los cuales $n$, $n+1$, $\dots$, $n+k$ son oeirenses.

4 Encuentra todos los enteros positivos $d$ para los cuales existen polinomios $P(x)$ y $Q(x)$ con coeficientes reales tales que el grado de $P$ sea $d$ y $$P(x)^2+1=(x^2+1)Q(x)^2.$$

A1 Sean $m$ y $n$ enteros mayores que $2$, y sean $A$ y $B$ polinomios no constantes con coeficientes complejos, al menos uno de los cuales tiene grado mayor que $1$. Demuestra que si el grado del polinomio $A^m-B^n$ es menor que $\min(m,n)$, entonces $A^m=B^n$. Propuesto por Tobi Moektijono, Indonesia

Un conjunto $S$ de enteros es balear si existen dos elementos (no necesariamente distintos) $s,s'\in S$ cuya suma $s+s'$ es una potencia de dos; en caso contrario, se llama conjunto no balear. Encuentra un entero $n$ tal que $\{1,2,\ldots,n\}$ contenga un conjunto no balear de 99 elementos, mientras que todos los subconjuntos de 100 elementos sean baleares.