14 Una caja rectangular de dimensiones \(m\times n\times p\) tiene la mitad del volumen de una caja rectangular de dimensiones \((m+2)\times(n+2)\times(p+2)\), donde \(m, n\) y \(p\) son enteros, y \(m\le n\le p\). ¿Cuál es el mayor valor posible de \(p\)?

1 Sea $n$ un entero positivo. Cada punto $(x,y)$ del plano, donde $x$ y $y$ son enteros no negativos con $x+y<n$, se colorea de rojo o azul, sujeto a la siguiente condición: si un punto $(x,y)$ es rojo, entonces también lo son todos los puntos $(x',y')$ con $x'\leq x$ y $y'\leq y$. Sea $A$ el número de formas de elegir $n$ puntos azules con coordenadas $x$ distintas, y sea $B$ el número de formas de elegir $n$ puntos azules con coordenadas $y$ distintas. Demuestra que $A=B$.

Dado un entero positivo \( n \), sea \( p(n) \) el producto de los dígitos distintos de cero de \( n \). (Si \( n \) tiene un solo dígito, entonces \( p(n) \) es igual a ese dígito). Sea \[ S=p(1)+p(2)+p(3)+\cdots+p(999). \] ¿Cuál es el factor primo más grande de \( S \)?

57 Sean $ v_1, v_2, \ldots, v_{1989}$ un conjunto de vectores coplanarios con $ |v_r| \leq 1$ para $ 1 \leq r \leq 1989.$ Demuestre que es posible encontrar $ \epsilon_r$ , $1 \leq r \leq 1989,$ cada uno igual a $ \pm 1,$ tales que \[ \left | \sum^{1989}_{r=1} \epsilon_r v_r \right | \leq \sqrt{3}.\]

6 Decide si es posible elegir $330$ puntos en el plano de manera que entre todas las distancias que se forman entre dos de ellos haya al menos $1700$ que sean iguales.

2 Sea $a_0, a_1, a_2, \ldots$ una sucesión infinita arbitraria de números positivos. Demuestra que la desigualdad $1 + a_n > a_{n-1} \sqrt[n]{2}$ se cumple para una infinidad de enteros positivos $n$.

4 Encuentra el área de la región encerrada por la gráfica de $|x-60|+|y|=|x/4|.$

25 Sean $ X,Y,Z$ los puntos medios de los arcos menores $ BC,CA,AB$ respectivamente (arcos de la circunferencia circunscrita de $ ABC$ ) . $ M$ es un punto arbitrario sobre $ BC$ , y las paralelas trazadas por $ M$ a las bisectrices interiores de $ \angle B,\angle C$ cortan a las bisectrices exteriores de $ \angle C,\angle B$ en $ N,P$ respectivamente. Muestre que $ XM,YN,ZP$ son concurrentes.

Sea \( a_n = 6^n + 8^n \). Determina el residuo al dividir \( a_{83} \) entre 49.

A1 Sean $m_0$ y $n_0$ enteros positivos distintos. Para cada entero positivo $k$, define $m_k$ y $n_k$ como los enteros positivos primos relativos tales que \[ \frac{m_k}{n_k}=\frac{2m_{k-1}+1}{2n_{k-1}+1}. \] Demuestra que $2m_k+1$ y $2n_k+1$ son primos relativos para todos salvo una cantidad finita de enteros positivos $k$.