Para un entero positivo $n$ , ¿existe una permutación de todos sus divisores enteros positivos $(d_1 , d_2 , \ldots, d_k)$ tal que la ecuación $d_kx^{k-1} + \ldots + d_2x + d_1 = 0$ tenga una raíz racional, si: a) $n = 2024$ ; b) $n = 2025$ ? Propuesto por Mykyta Kharin

En la isla viven $2025$ personas, cada una de las cuales es un caballero, es decir, siempre dice la verdad, o un mentiroso, lo que significa que siempre miente. Algunos habitantes de la isla se conocen entre sí, y todos tienen al menos un conocido, pero no más de tres. Cada habitante de la isla afirma que entre sus conocidos hay exactamente dos mentirosos. a) ¿Cuál es el menor número posible de caballeros entre los habitantes de la isla? b) ¿Cuál es el mayor número posible de caballeros entre los habitantes de la isla? Propuesto por Oleksii Masalitin

Halle todos los enteros positivos $n$ tales que existen enteros $a$ y $b$ que satisfacen $n\mid a^2+b^2+1$ .

Igual que 9.2

Halle todos los pares de enteros positivos $(a, b)$ tales que $4b - 1$ es divisible por $3a + 1$ y $3a - 1$ es divisible por $2b + 1$ .

Halle el menor valor de la expresión $|253^m - 40^n|$ sobre todos los pares de enteros positivos $(m, n)$ . Propuesto por Oleksii Masalitin

Igual que 8.4

Petro y Vasyl juegan el siguiente juego. Se turnan para hacer jugadas y Petro juega primero. En un turno, un jugador elige uno de los números del $1$ al $2023$ que no haya sido seleccionado antes y lo escribe en la pizarra. El primer jugador después de cuyo turno el producto de los números en la pizarra sea divisible por $2023$ pierde. ¿Quién gana si cada jugador quiere ganar? Propuesto por Mykhailo Shtandenko

Sean $BL, AD$ la bisectriz y la altura, respectivamente, de un triángulo acutángulo ABC. Se cortan en el punto $T$ . Resultó que la altura $LK$ del $\triangle ALB$ queda dividida por la mitad por la recta $AD$ . Demuestre que $KT \perp BL$ . Propuesto por Mariia Rozhkova

La diferencia de las fracciones $\frac{2024}{2023} - \frac{2023}{2024}$ se representó como una fracción irreducible $\frac{p}{q}$ . Halle el valor de $p$ .