5 Una subsuma de $n$ números reales $a_1,\dots,a_n$ es una suma de elementos de un subconjunto del conjunto $\{a_1,\dots,a_n\}$ . En otras palabras, una subsuma es $\epsilon_1a_1+\dots+\epsilon_na_n$ en la que para cada $1\leq i \leq n$ , $\epsilon_i$ es $0$ o $1$ . Hace años, existía una lista valiosa que contenía $n$ números reales no necesariamente distintos y sus $2^n-1$ subsumas. Algunas criaturas misteriosas del planeta Tarator han robado la lista, pero aún tenemos las subsumas. (a) Demuestre que podemos recuperar los números de manera única si todas las subsumas son positivas. (b) Demuestre que podemos recuperar los números de manera única si todas las subsumas son no nulas. (c) Demuestre que existe un ejemplo de subsumas para $n=1392$ tal que no podemos recuperar los números de manera única. Nota: Si una subsuma es la suma de elementos de dos subconjuntos diferentes, aparece dos veces. El tiempo permitido para esta pregunta fue de 75 minutos.

6 El planeta Tarator es un planeta en la galaxia Vía Yoghurty. Este planeta tiene la forma de un $1392$ -edro convexo. En la Tierra no tenemos ninguna otra información sobre las caras del planeta Tarator. Hemos descubierto que cada cara del planeta es un país y tiene su propia moneda. Cada dos países vecinos tienen su propia tasa de cambio constante, independientemente de las demás tasas de cambio. Cualquiera que viaje por tierra y cruce la frontera debe cambiar todo su dinero a la moneda del país de destino, y no hay otra forma de cambiar el dinero. Increíblemente, el dinero de una persona puede cambiar después de cruzar algunas fronteras y regresar al punto de partida, pero está garantizado que cruzar una frontera y luego regresar no cambia el dinero. En un proyecto de investigación se eligió a un grupo de turistas y se les dio la misma cantidad de dinero para viajar alrededor del planeta Tarator y regresar al punto de partida. Siempre viajan por tierra y su trayectoria es un polígono no plano que no se interseca a sí mismo. ¿Cuál es el número máximo de turistas que pueden tener una cantidad final de dinero dos a dos diferente? Nota 1: ¡Los turistas no gastan dinero durante el viaje! Nota 2: La única constante del problema es 1392, el número de caras. Las tasas de cambio y la forma en que están dispuestas las caras son desconocidas. La respuesta debe ser un número constante, independientemente de las variables. Nota 3: El máximo debe considerarse entre todos los poliedros posibles. El tiempo permitido para este problema fue de 90 minutos.

7 Una ecuación $P(x)=Q(y)$ se llama Interesante si $P$ y $Q$ son polinomios de grado al menos uno con coeficientes enteros y la ecuación tiene un número infinito de soluciones en $\mathbb{N}$ . Una ecuación interesante $P(x)=Q(y)$ produce una ecuación interesante $F(x)=G(y)$ si existe un polinomio $R(x) \in \mathbb{Q} [x]$ tal que $F(x) \equiv R(P(x))$ y $G(x) \equiv R(Q(x))$ . (a) Suponga que $S$ es un subconjunto infinito de $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ . $S$ es una solución de la ecuación interesante $P(x)=Q(y)$ si cada elemento de $S$ es una solución de esta ecuación. Demuestre que para cada $S$ existe una ecuación interesante $P_0(x)=Q_0(y)$ tal que si existe alguna ecuación interesante de la cual $S$ sea una solución, entonces $P_0(x)=Q_0(y)$ produce esa ecuación. (b) Defina el grado de una ecuación interesante $P(x)=Q(y)$ como $max\{deg(P),deg(Q)\}$ . Una ecuación interesante se llama primaria si no existe otra ecuación interesante de menor grado que la produzca. Demuestre que si $P(x)=Q(y)$ es una ecuación interesante primaria y $P$ y $Q$ son mónicos, entonces $(deg(P),deg(Q))=1$ . El tiempo permitido para esta pregunta fue de 2 horas.

8 Sea $A_1A_2A_3A_4A_5$ un 5-ágono convexo en el cual las coordenadas de todos sus vértices son racionales. Para cada $1\leq i \leq 5$ defina $B_i$ como la intersección de las rectas $A_{i+1}A_{i+2}$ y $A_{i+3}A_{i+4}$ . ( $A_i=A_{i+5}$ ) Demuestre que a lo sumo 3 de las rectas $A_iB_i$ ( $1\leq i \leq 5$ ) son concurrentes. El tiempo permitido para este problema fue de 75 minutos.

1 Demuestre que el número de incidencias de $n$ puntos distintos sobre $n$ rectas distintas en el plano es $\mathcal O (n^{\frac{4}{3}})$ . Encuentre una configuración para la cual ocurran $\Omega (n^{\frac{4}{3}})$ incidencias.

2 Considere un conjunto de $n$ puntos en el plano. Demuestre que el número de triángulos isósceles cuyos vértices están entre estos $n$ puntos es $\mathcal O (n^{\frac{7}{3}})$ . Encuentre una configuración de $n$ puntos en el plano tal que el número de triángulos equiláteros con vértices entre estos $n$ puntos sea $\Omega (n^2)$ .

3 Demuestre que si $n$ es suficientemente grande, entre cualesquiera $n$ puntos del plano podemos encontrar $1000$ puntos tales que estos $1000$ puntos tengan distancias dos a dos distintas. ¿Puede demostrar la afirmación para $n^{\alpha}$ donde $\alpha$ es un número real positivo, en lugar de $1000$ ?

4 Demuestre que de una cuadrícula de $n\times n$ se pueden encontrar $\Omega (n^{\frac{5}{3}})$ puntos tales que no haya cuatro de ellos que sean vértices de un cuadrado con lados paralelos a las líneas de la cuadrícula. ¡Imagínese a sí mismo como Erdős (!) y adivine cuál es el mejor exponente en lugar de $\frac{5}{3}$ !

2 Suponga que $W(k,2)$ es el número más pequeño tal que si $n\ge W(k,2)$ , para cada coloración del conjunto $\{1,2,...,n\}$ con dos colores existe una progresión aritmética monocromática de longitud $k$ . Demuestre que $W(k,2)=\Omega (2^{\frac{k}{2}})$ .

3 Demuestre que si $n$ es suficientemente grande, entonces para cada coloración de los subconjuntos del conjunto $\{1,2,...,n\}$ con $1391$ colores, existen dos subconjuntos disjuntos no vacíos $A$ y $B$ tales que $A$ , $B$ y $A\cup B$ son del mismo color.