Sea $n\geq 4$ un número entero. Para cualquier permutación $x_1,x_2,\cdots,x_n$ de los números $1,2 \cdots,n$ escribimos en el pizarrón el número $$ x_1+2x_2+\cdots+nx_n $$. Calcula la cantidad total de números distintos escritos en el pizarrón. Propuesto por Sina Rezaei

2018.G4 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AC > AB$. Sea $\Gamma$ el círculo circunscrito al triángulo $ABC$ y $D$ el punto medio del arco menor $BC$ de este círculo. Sea $I$ el incentro de $ABC$ y sean $E$ y $F$ puntos sobre los lados $AB$ y $AC$, respectivamente, tales que $AE = AF$ y $I$ está sobre el segmento $EF$. Sea $P$ el segundo punto de intersección del círculo circunscrito del triángulo $AEF$ con $\Gamma$, con $P \ne A$. Sean $G$ y $H$ los puntos de intersección de las rectas $PE$ y $PF$ con $\Gamma$, distintos de $P$, respectivamente. Sean $J$ y $K$ los puntos de intersección de las rectas $DG$ y $DH$ con las rectas $AB$ y $AC$, respectivamente. Muestra que la recta $JK$ pasa por el punto medio de $BC$.

2018.G5 Decimos que un polígono $P$ está inscrito en otro polígono $Q$ cuando todos los vértices de $P$ pertenecen al perímetro de $Q$. También decimos en este caso que $Q$ está circunscrito a $P$. Dado un triángulo $T$, sea $\ell$ el lado más grande de un cuadrado inscrito en $T$ y $L$ el lado más corto de un cuadrado circunscrito a $T$. Encuentra el menor valor posible de la razón $L/\ell$.

2020.G1.4 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo escaleno. $D$ y $E$ son puntos variables en las semirrectas $AB$ y $AC$ (con origen en $A$) tales que el simétrico de $A$ respecto a $DE$ está sobre $BC$. Sea $P$ la intersección de las circunferencias con diámetro $AD$ y $AE$. Encuentra el lugar geométrico de $P$ al variar el segmento $DE$.

2020.G2 Sea $ABC$ un triángulo cuya circunferencia inscrita es $\omega$. Sea $r_1$ la recta paralela a $BC$ y tangente a $\omega$, con $r_1 \ne BC$, y sea $r_2$ la recta paralela a $AB$ y tangente a $\omega$, con $r_2 \ne AB$. Supón que el punto de intersección de $r_1$ y $r_2$ está sobre la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$. Demuestra que las longitudes de los lados del triángulo $ABC$ forman una progresión aritmética.

2020.G3.3 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo tal que $AC<BC$ y $\omega$ su circunferencia circunscrita. $M$ es el punto medio de $BC$. Los puntos $F$ y $E$ se eligen en $AB$ y $BC$, respectivamente, de modo que $AC=CF$ y $EB=EF$. La recta $AM$ interseca a $\omega$ en $D\neq A$. La recta $DE$ interseca a la recta $FM$ en $G$. Demuestra que $G$ está en $\omega$.

2020.G4 Sea $ABC$ un triángulo con circunferencia circunscrita $\omega$. La bisectriz del ángulo $\angle BAC$ interseca a $\omega$ en el punto $A_1$. Sea $A_2$ un punto en el segmento $AA_1$; $CA_2$ corta a $AB$ y a $\omega$ en los puntos $C_1$ y $C_2$, respectivamente. De manera similar, $BA_2$ corta a $AC$ y a $\omega$ en los puntos $B_1$ y $B_2$, respectivamente. Sea $M$ el punto de intersección de $B_1C_2$ y $B_2C_1$. Demuestra que $MA_2$ pasa por el punto medio de $BC$. propuesto por Jhefferson Lopez, Perú

2021.G1.2 Sea $ABC$ un triángulo e $I$ su incentro. Las rectas $BI$ y $CI$ cortan nuevamente a la circunferencia circunscrita de $ABC$ en $M$ y $N$, respectivamente. Sean $C_1$ y $C_2$ las circunferencias de diámetros $NI$ y $MI$, respectivamente. La circunferencia $C_1$ interseca a $AB$ en $P$ y $Q$, y la circunferencia $C_2$ interseca a $AC$ en $R$ y $S$. Demuestra que $P$, $Q$, $R$ y $S$ son concíclicos.

2021.G2 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Define $A_1$ como el punto medio del arco mayor $BC$ de la circunferencia circunscrita de $ABC$. Sean $A_2$ y $A_3$ los pies de las perpendiculares trazadas desde $A_1$ a las rectas $AB$ y $AC$, respectivamente. Define $B_1$, $B_2$, $B_3$, $C_1$, $C_2$ y $C_3$ de manera análoga. Demuestra que las rectas $A_2A_3$, $B_2B_3$, $C_2C_3$ son concurrentes.

2021.G3 Sea $ABCD$ un paralelogramo con vértices en orden horario y sea $E$ la intersección de sus diagonales. El círculo de diámetro $DE$ interseca el segmento $AD$ en $L$ y a $EC$ en $H$. El círculo circunscrito de $LEB$ interseca el segmento $BC$ en $O$. Demuestra que las rectas $HD$, $LE$ y $BC$ son concurrentes si y solo si $EO = EC$.