1 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Sean $AD,BE,CF$ bisectrices interiores con $D, E, F$ en $BC, CA, AB$ respectivamente. Demuestre que \[\frac{EF}{BC}+\frac{FD}{CA}+\frac{DE}{AB}\geq 1+\frac{r}{R}\]

2 Halle todos los pares $(m,n)$ de enteros no negativos para los cuales \[m^2 + 2 \cdot 3^n = m\left(2^{n+1} - 1\right).\] Propuesto por Angelo Di Pasquale, Australia Amir

3 Sean $\{a_0,a_1,\ldots\}$ y $\{b_0,b_1,\ldots\}$ dos sucesiones infinitas de enteros tales que \[(a_{n}-a_{n-1})(a_n-a_{n-2}) +(b_n-b_{n-1})(b_n-b_{n-2})=0\] para todo entero $n\geq 2$ . Demuestre que existe un entero positivo $k$ tal que \[a_{k+2011}=a_{k+2011^{2011}}.\]

1 Demuestre que en un triángulo no equilátero, las siguientes afirmaciones son equivalentes: $(a)$ Los ángulos del triángulo están en progresión aritmética. $(b)$ La tangente común a la circunferencia de los nueve puntos y a la circunferencia inscrita es paralela a la recta de Euler.

2 Halle todas las soluciones enteras de la ecuación \[\frac {x^{7} - 1}{x - 1} = y^{5} - 1.\] e.lopes

3 Sea $\mathbb X$ el conjunto de todas las funciones biyectivas del conjunto $S=\{1,2,\cdots, n\}$ en sí mismo. Para cada $f\in \mathbb X,$ defina \[T_f(j)=\left\{\begin{aligned} 1, \ \ \ & \text{if} \ \ f^{(12)}(j)=j,\\ 0, \ \ \ & \text{otherwise}\end{aligned}\right.\] Determine $\sum_{f\in\mathbb X}\sum_{j=1}^nT_{f}(j).$ (Aquí $f^{(k)}(x)=f(f^{(k-1)}(x))$ para todo $k\geq 2.$ )

1 Sea $ ABCD$ un trapecio con lados paralelos $ AB > CD$ . Los puntos $ K$ y $ L$ están sobre los segmentos $ AB$ y $ CD$ , respectivamente, de modo que $AK/KB=DL/LC$ . Suponga que hay puntos $ P$ y $ Q$ sobre el segmento $ KL$ que satisfacen \[\angle{APB} = \angle{BCD}\qquad\text{and}\qquad \angle{CQD} = \angle{ABC}.\] Demuestre que los puntos $ P$ , $ Q$ , $ B$ y $ C$ son concíclicos. Propuesto por Vyacheslev Yasinskiy, Ucrania

2 Sean $a,b,c$ números reales no negativos tales que $a+b\leq c+1, b+c\leq a+1$ y $c+a\leq b+1.$ Demuestre que \[a^2+b^2+c^2\leq 2abc+1.\]

3 Dada una cadena finita $S$ de símbolos $X$ y $O$ , denotamos $\Delta(s)$ como el número de $X'$ s en $S$ menos el número de $O'$ s (Por ejemplo, $\Delta(XOOXOOX)=-1$ ) . Llamamos equilibrada a una cadena $S$ si toda subcadena $T$ de (símbolos consecutivos) $S$ tiene la propiedad $-1\leq \Delta(T)\leq 2.$ (Así, $XOOXOOX$ no está equilibrada, pues contiene la subcadena $OOXOO$ cuyo valor de $\Delta$ es $-3.$ Halle, con demostración, el número de cadenas equilibradas de longitud $n$ .

1 Una sucesión de números reales $ a_{0},\ a_{1},\ a_{2},\dots$ se define mediante la fórmula \[ a_{i + 1} = \left\lfloor a_{i}\right\rfloor\cdot \left\langle a_{i}\right\rangle\qquad\text{for}\quad i\geq 0; \] aquí $a_0$ es un número real arbitrario, $\lfloor a_i\rfloor$ denota el mayor entero que no excede a $a_i$ , y $\left\langle a_i\right\rangle=a_i-\lfloor a_i\rfloor$ . Demuestre que $a_i=a_{i+2}$ para $i$ suficientemente grande. Propuesto por Harmel Nestra, Estonia