Juanita escribió los números del $1$ al $13$, calculó la suma de todos los dígitos que había escrito y obtuvo $$1+2+3+4+5+6+7+8+9+(1+0)+(1+1)+(1+2)+(1+3)=55.$$ Su hermano Ariel escribió los números del $1$ al $100$ y calculó la suma de todos los dígitos escritos. Encuentra el valor de la suma de Ariel.

2 Decimos que un número de cuatro dígitos $\overline{abcd}$ es resbaladizo si el número $a^4+b^3+c^2+d$ es igual al número de dos dígitos $\overline{cd}$. Por ejemplo, $2023$ es resbaladizo, ya que $2^4 + 0^3 + 2^2 + 3 = 23$. ¿Cuántos números resbaladizos hay?

5 Hay $100$ cajas etiquetadas con los números $00$, $01$, $02$, $\ldots$, $99$. Los números $000$, $001$, $002$, $\ldots$, $999$ se escribieron en mil tarjetas, una en cada tarjeta. Colocar una tarjeta en una caja está permitido si el número de la caja se puede obtener quitando uno de los dígitos del número de la tarjeta. Por ejemplo, se permite colocar la tarjeta $037$ en la caja $07$, pero no se permite colocar la tarjeta $156$ en la caja $65$. ¿Puede suceder que después de colocar todas las tarjetas en las cajas, haya exactamente $50$ cajas vacías? Si la respuesta es sí, indica cómo se colocan las tarjetas en las cajas; si la respuesta es no, explica por qué es imposible.

1996.1 Sea $ABCD$ un rectángulo. Una recta $r$ se mueve paralela a $AB$ e interseca a la diagonal $AC$, formando dos triángulos opuestos al vértice, dentro del rectángulo. Demuestra que la suma de las áreas de estos triángulos es mínima cuando $r$ pasa por el punto medio del segmento $AD$.

1996.4 Sea $ABCD$ un cuadrado y sea $F$ un punto cualquiera sobre el lado $BC$. Sea la recta perpendicular a $DF$, que pasa por $B$, la que interseca a la recta $DC$ en $Q$. ¿Cuál es el valor de $\angle FQC$?

1997.2 Sea \(ABCD\) un cuadrado de lado \(k\). Los puntos \(P\) y \(Q\) están sobre los lados \(BC\) y \(DC\), respectivamente, tales que \(PC = 3\,PB\) y \(QD = 2\,QC\). Sea \(M\) el punto de intersección de las rectas \(AQ\) y \(PD\). Determina el área del triángulo \(QMD\) en términos de \(k\).

1997.5 ¿Cuáles son las áreas posibles de un hexágono con todos los ángulos iguales y lados $1, 2, 3, 4, 5$ y $6$, en algún orden?

1998.2 Sea $ABC$ un triángulo equilátero. $N$ es un punto sobre el lado $AC$ tal que $\vec{AC} = 7\vec{AN}$, $M$ es un punto sobre el lado $AB$ tal que $MN$ es paralelo a $BC$ y $P$ es un punto sobre el lado $BC$ tal que $MP$ es paralelo a $AC$. Encuentra la razón de áreas $\frac{ (MNP)}{(ABC)}$.

1999.2 En un círculo unitario donde \(O\) es el centro, sean \(A\) y \(B\) puntos sobre el círculo tales que \(\angle BOA = 90^\circ\). Sobre el arco menor \(AB\), sean \(P\) y \(Q\) puntos tales que \(PQ \parallel AB\). Sean \(X\) y \(Y\) los puntos de intersección de la recta \(PQ\) con \(OA\) y \(OB\), respectivamente. Encuentra el valor de \(PX^2 + PY^2\).

1999.4 Sea $ABC$ un triángulo equilátero. $M$ es el punto medio del segmento $AB$ y $N$ es el punto medio del segmento $BC$. Sea $P$ el punto exterior a $ABC$ tal que el triángulo $ACP$ es isósceles y rectángulo en $P$. $PM$ y $AN$ se cortan en $I$. Demuestra que $CI$ es la bisectriz del ángulo $MCA$.