12 Dado un número positivo impar $m$ y un entero ${a}.$ Demuestra que: Para cualquier número real $c,$ $$\#\left\{x\in\mathbb Z\cap [c,c+\sqrt m]\mid x^2\equiv a\pmod m\right\}\le 2+\log_2m.$$ Propuesto por Yinghua Ai

Para un número natural $n$, sea $$ C_n=\frac{1}{n+1}\binom{2n}{n}=\frac{(2n)!}{n!(n+1)!} $$ el $n$-ésimo número de Catalan. Demuestra que para cualquier número natural $m$, $$ \sum_{i+j+k=m} C_{i+j}C_{j+k}C_{k+i}=\frac{3}{2m+3}C_{2m+1}. $$ Propuesto por Bin Wang

14 Para un entero positivo $n$ y un subconjunto $S$ de $\{1, 2, \dots, n\}$, di que $S$ es "$n$-bueno" si y solo si para cualesquiera $x$, $y \in S$ (se permite que sean iguales), si $x+y \leq n$, entonces $x+y \in S$. Sea $r_n$ el número real más pequeño tal que para cualquier entero positivo $m \leq n$, siempre existe un conjunto "$n$-bueno" de $m$ elementos, cuya suma de sus elementos no sea mayor que $m \cdot r_n$. Demuestra que existe un número real $\alpha$ tal que para cualquier entero positivo $n$, se cumple $|r_n - \alpha n| \leq 2024$.

Sea $n>1$ un entero. Sea el número real $x>1$ que satisface $$ x^{101}-nx^{100}+nx-1=0. $$ Demuestra que para cualesquiera reales $0<a<b<1$, existe un entero positivo $m$ tal que $a<\{x^m\}<b$. Propuesto por Chenjie Yu

16 $m>1$ es un entero tal que $[2m-\sqrt{m}+1, 2m]$ contiene un primo. Demuestra que para cualesquiera enteros positivos distintos por pares $a_1$ , $a_2$ , $\dots$ , $a_m$ , siempre existe $1\leq i,j\leq m$ tal que $\frac{a_i}{(a_i, a_j)}\geq m$ .

17 $ABCDE$ es un pentágono convexo con $BD=CD=AC$, y $B$, $C$, $D$, $E$ son concíclicos. Si $\angle BAC+\angle AED=180^{\circ}$ y $\angle DCA=\angle BDE$, demuestra que $AB=DE$ o $AB=2AE$.

18 Sean $m,n\in\mathbb Z_{\ge 0},$ $a_0,a_1,\ldots ,a_m,b_0,b_1,\ldots ,b_n\in\mathbb R_{\ge 0}$. Para cualquier entero $0\le k\le m+n,$ define $c_k:=\max_{i+j=k}a_ib_j.$ Demuestra que $$\frac 1{m+n+1}\sum_{k=0}^{m+n}c_k\ge\frac 1{(m+1)(n+1)}\sum_{i=0}^{m}a_i\sum_{j=0}^{n}b_j.$$ Creado por Yinghua Ai

21 Sea un entero $n\ge 3,$ y sean $\tbinom n2$ números reales no negativos $a_{i,j}$ que satisfacen $ a_{i,j}+a_{j,k}\le a_{i,k}$ para todos $1\le i <j<k\le n$ . Demuestra que $$\left\lfloor\frac{n^2}4\right\rfloor\sum_{1\le i<j\le n}a_{i,j}^4\ge \left(\sum_{1\le i<j\le n}a_{i,j}^2\right)^2.$$ Propuesto por Jingjun Han, Dongyi Wei

22 $ABC$ es un triángulo isósceles, con $AB=AC$. $D$ es un punto móvil tal que $AD\parallel BC$, $BD>CD$. El punto móvil $E$ está en el arco de $BC$ en la circunferencia circunscrita de $ABC$ que no contiene a $A$, tal que $EB<EC$. El rayo $BC$ contiene al punto $F$ con $\angle ADE=\angle DFE$. Si el rayo $FD$ interseca al rayo $BA$ en $X$, y al rayo $CA$ en $Y$, demuestra que $\angle XEY$ es un ángulo fijo.

24 Sea \(N=10^{2024}\). \(S\) es un cuadrado en el plano cartesiano con lado de longitud \(N\) y lados paralelos a los ejes de coordenadas. Dentro hay \(N\) puntos \(P_1\), \(P_2\), \(\dots\), \(P_N\), todos con coordenadas \(x\) distintas, y el valor absoluto de la pendiente de cualquier recta que conecte dos de estos puntos es a lo más \(1\). Demuestra que existe una recta \(l\) tal que al menos \(2024\) de estos puntos están a distancia a lo más \(1\) de \(l\).