4 Considere (en el plano) tres circunferencias concéntricas con radios $1, 2$ y $3$ y un triángulo equilátero $\Delta$ tal que en cada una de las tres circunferencias se encuentra un vértice de $\Delta$ . Calcule la longitud del lado de $\Delta$ . https://1.bp.blogspot.com/-q40dl3TSQqE/Xy1QAcno_9I/AAAAAAAAMR8/11nsSA0syNAaGb3W7weTHsNpBeGQZXnHACLcBGAsYHQ/s0/flanders%2B2013%2Bp4.png

1 Nuestra clase decide organizar un torneo alfa - beta - gamma. Este juego de fiesta siempre se juega en grupos de tres. Cualquier combinación posible de tres jugadores (tres estudiantes o dos estudiantes y el profesor) juega el juego $1$ vez. El jugador que gana obtiene $1$ punto. Los dos perdedores no obtienen puntos. Al final del torneo, milagrosamente, todos los estudiantes tienen la misma cantidad de puntos. El profesor tiene $3$ puntos. ¿Cuántos estudiantes hay en nuestra clase?

2 Sea $n$ un número natural. Llame $a$ al menor número natural que se debe restar de $n$ para obtener un cuadrado perfecto. Llame $b$ al menor número natural que se debe sumar a $n$ para obtener un cuadrado perfecto. Demuestre que $n - ab$ es un cuadrado perfecto.

3 (a) Demuestre que para cualquier ángulo $\theta$ y para cualquier número natural $m$ : $$| \sin m\theta| \le m| \sin \theta|$$ (b) Demuestre que para todos los ángulos $\theta_1$ y $\theta_2$ y para todos los números naturales pares $m$ : $$| \sin m \theta_2 - \sin m \theta_1| \le m| \sin (\theta_2 - \theta_1)|$$ (c) Demuestre que para todo número natural impar $m$ existen dos ángulos, a saber $\theta_1$ y $\theta_2$ , para los cuales la desigualdad en (b) no es válida.

4 En $\vartriangle ABC, \angle A = 66^o$ y $| AB | <| AC |$ . La bisectriz exterior en $A$ interseca a $BC$ en $D$ y $| BD | = | AB | + | AC |$ . Determine los ángulos de $\vartriangle ABC$ .

1 Se dan tres números $a, b, c \in R-\{0\}$ . La parábola de ecuación $y = ax^2+bx+c$ se encuentra por encima de la recta $y = cx$ . Demuestre que la parábola de ecuación $y = cx^2 - bx + a$ se encuentra por encima de la recta $y = cx - b$ .

2 El área de la base de un cono truncado $K$ es cuatro veces mayor que el área de la cara superior. Una esfera $B$ está inscrita en $K$ , es decir, $B$ toca tanto la cara superior como la base y las caras laterales. Calcule la razón volumen $B :$ volumen $K$ .

3 Hay $18$ estudiantes en una clase. A cada estudiante se le hacen dos preguntas: cuántos otros estudiantes tienen tu mismo nombre de pila y cuántos otros estudiantes tienen tu mismo apellido. Todas las respuestas $0, 1, 2, . . ., 7$ se presentan. Demuestre que hay dos estudiantes con el mismo nombre de pila y el mismo apellido.

4 Se da un triángulo $ABC$ y los puntos $D$ y $E$ , respectivamente en $] BC [$ y $] AB [$ . $F$ es la intersección de las rectas $AD$ y $CE$ . Denotamos $| CD | = a, | BD | = b, | DF | = c$ y $| AF | = d$ . Determine la razón $\frac{| BE |}{|AE |}$ en términos de $a, b, c$ y $d$ https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/5/7/856c97045db2d9a26841ad00996a2b809addaa.png

1 ¿Con cuántos ceros termina $101^{100} - 1$ ?