4 Sea $n$ un entero positivo, y sean $a_0,\,a_1,\dots,\,a_n$ enteros no negativos tales que $a_0\ge a_1\ge \dots\ge a_n.$ Demuestre que \[ \sum_{i=0}^n i\binom{a_i}{2}\le\frac{1}{2}\binom{a_0+a_1+\dots+a_n}{2}. \] Nota: $\binom{k}{2}=\frac{k(k-1)}{2}$ para todo entero no negativo $k$ .

5 Sea $H$ el ortocentro del triángulo acutángulo $ABC$ , sea $F$ el pie de la altura desde $C$ hasta $AB$ , y sea $P$ la reflexión de $H$ con respecto a $BC$ . Suponga que la circunferencia circunscrita del triángulo $AFP$ interseca la recta $BC$ en dos puntos distintos $X$ e $Y$ . Demuestre que $C$ es el punto medio de $XY$ . KevinYang2.71

6 Sea $S$ un conjunto de enteros con las siguientes propiedades: $\{ 1, 2, \dots, 2025 \} \subseteq S$ . Si $a, b \in S$ y $\gcd(a, b) = 1$ , entonces $ab \in S$ . Si para algún $s \in S$ , $s + 1$ es compuesto, entonces todos los divisores positivos de $s + 1$ están en $S$ . Demuestre que $S$ contiene a todos los enteros positivos.

1 Sean $k$ y $d$ enteros positivos. Demuestre que existe un entero positivo $N$ tal que para todo entero impar $n>N$ , los dígitos en la representación en base $2n$ de $n^k$ son todos mayores que $d$ . KevinYang2.71

2 Sean $n$ y $k$ enteros positivos con $k<n$ . Sea $P(x)$ un polinomio de grado $n$ con coeficientes reales, término constante no nulo y sin raíces repetidas. Suponga que para cualesquiera números reales $a_0,\,a_1,\,\ldots,\,a_k$ tales que el polinomio $a_kx^k+\cdots+a_1x+a_0$ divide a $P(x)$ , el producto $a_0a_1\cdots a_k$ es cero. Demuestre que $P(x)$ tiene una raíz no real. KevinYang2.71

3 Alice la arquitecta y Bob el constructor juegan un juego. Primero, Alice elige dos puntos $P$ y $Q$ en el plano y un subconjunto $\mathcal{S}$ del plano, que son anunciados a Bob. Luego, Bob marca infinitos puntos en el plano, designando a cada uno como una ciudad. No puede colocar dos ciudades a distancia a lo sumo una unidad entre sí, y no puede colocar tres ciudades colineales. Finalmente, se construyen carreteras entre las ciudades como sigue: para cada par $A,\,B$ de ciudades, se conectan con una carretera a lo largo del segmento de recta $AB$ si y solo si se cumple la siguiente condición: Para toda ciudad $C$ distinta de $A$ y $B$ , existe $R\in\mathcal{S}$ tal que $\triangle PQR$ es directamente semejante a $\triangle ABC$ o a $\triangle BAC$ . Alice gana el juego si (i) las carreteras resultantes permiten viajar entre cualquier par de ciudades mediante una sucesión finita de carreteras y (ii) no hay dos carreteras que se crucen. De lo contrario, gana Bob. Determine, con demostración, qué jugador tiene una estrategia ganadora. Nota: $\triangle UVW$ es directamente semejante a $\triangle XYZ$ si existe una sucesión de rotaciones, traslaciones y homotecias que envían $U$ a $X$ , $V$ a $Y$ y $W$ a $Z$ . KevinYang2.71

4 Sea $H$ el ortocentro del triángulo acutángulo $ABC$ , sea $F$ el pie de la altura desde $C$ hasta $AB$ , y sea $P$ la reflexión de $H$ con respecto a $BC$ . Suponga que la circunferencia circunscrita del triángulo $AFP$ interseca la recta $BC$ en dos puntos distintos $X$ e $Y$ . Demuestre que $C$ es el punto medio de $XY$ . KevinYang2.71

5 Determine, con demostración, todos los enteros positivos $k$ tales que $$\frac{1}{n+1} \sum_{i=0}^n \binom{n}{i}^k$$ es un entero para todo entero positivo $n.$

6 Sean $m$ y $n$ enteros positivos con $m\geq n$ . Hay $m$ pastelitos de diferentes sabores dispuestos alrededor de un círculo y $n$ personas a las que les gustan los pastelitos. Cada persona asigna una puntuación de número real no negativo a cada pastelito, dependiendo de cuánto le guste el pastelito. Suponga que para cada persona $P$ , es posible dividir el círculo de $m$ pastelitos en $n$ grupos de pastelitos consecutivos de modo que la suma de las puntuaciones de $P$ de los pastelitos de cada grupo sea al menos $1$ . Demuestre que es posible repartir los $m$ pastelitos entre las $n$ personas de modo que cada persona $P$ reciba pastelitos de puntuación total al menos $1$ según $P$ . KevinYang2.71

1 Sea $P(x) = x^4-x^3+x$ . a) Demuestre que para todo número real positivo $a$ , el polinomio $P(x) - a$ tiene una única raíz positiva. b) Se define una sucesión $(a_n)$ mediante $a_1 = \dfrac{1}{3}$ y, para todo $n \geq 1$ , $a_{n+1}$ es la raíz positiva del polinomio $P(x) - a_n$ . Demuestre que la sucesión $(a_n)$ converge, y halle el límite de la sucesión.