2 Sea $n$ un entero positivo y sea $\alpha_n $ el número de $1$ ' s en la representación binaria de $n$ . Demuestre que, para todo entero positivo $r$ , \[2^{2n-\alpha_n}\phantom{-1} \bigg|^{\phantom{0}}_{\phantom{-1}} \sum_{k=-n}^{n} \binom{2n}{n+k} k^{2r}.\] Amir

10 Un poliedro convexo tiene como caras 12 cuadrados, 8 hexágonos regulares y 6 octágonos regulares. En cada vértice del poliedro se encuentran un cuadrado, un hexágono y un octágono. ¿Cuántos segmentos que unen vértices del poliedro están en el interior del poliedro en lugar de estar a lo largo de una arista o de una cara?

A4. Sea $H$ una matriz de $n\times n$ cuyas entradas son todas $\pm1$ y cuyas filas son mutuamente ortogonales. Supón que $H$ tiene una submatriz de $a\times b$ cuyas entradas son todas $1.$ Demuestra que $ab\le n.$

A5 Evalúa $\int_0^1\frac{\ln(x+1)}{x^2+1}\,dx.$ Kent

A6 Sea $n$ dado, $n\ge 4,$ y supón que $P_1,P_2,\dots,P_n$ son $n$ puntos elegidos al azar, de forma independiente y uniforme, sobre una circunferencia. Considera el $n$-ágono convexo cuyos vértices son los $P_i.$ ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno de los ángulos de los vértices de este polígono sea agudo?

B1 Encuentra un polinomio no nulo $P(x,y)$ tal que $P(\lfloor a\rfloor,\lfloor 2a\rfloor)=0$ para todo número real $a.$ (Nota: $\lfloor v\rfloor$ es el mayor entero menor o igual que $v.$ ) Kent

B2 Encuentra todos los enteros positivos $n,k_1,\dots,k_n$ tales que $k_1+\cdots+k_n=5n-4$ y \[ \frac1{k_1}+\cdots+\frac1{k_n}=1. \] Kent

B3 Encuentra todas las funciones diferenciables \( f: (0,\infty)\mapsto (0,\infty) \) para las cuales existe un número real positivo \( a \) tal que \[ f'\left(\frac ax\right)=\frac x{f(x)} \] para todo \( x>0. \)

B4 Para enteros positivos $ m$ y $ n$ , sea $ f\left(m,n\right)$ el número de $ n$ -adas $ \left(x_1,x_2,\dots,x_n\right)$ de enteros tales que $ \left|x_1\right| + \left|x_2\right| + \cdots + \left|x_n\right|\le m$ . Demuestra que $ f\left(m,n\right) = f\left(n,m\right)$ .

B5 Sea $P(x_1,\dots,x_n)$ un polinomio con coeficientes reales en las variables $x_1,\dots,x_n,$ y supón que (a) $\left(\frac{\partial^2}{\partial x_1^2}+\cdots+\frac{\partial^2}{\partial x_n^2} \right)P(x_1,\dots,x_n)=0$ (idénticamente) y que (b) $x_1^2+\cdots+x_n^2$ divide a $P(x_1,\dots,x_n).$ Demuestra que $P=0$ idénticamente.