8 Una sucesión de enteros $\{a_{n}\}$ satisface la relación $a_{n+2}=a_{n+1}^{2}+a_{n}$ para todo natural $n$ . Demuestre que existe $m>1$ tal que $a_{2}^{3}+a_{3}^{3}+\ldots+a_{m}^{3}$ es divisible por $2004$ .

2 Determine todos los enteros $m, n\geqslant2$ tales que $1+m^{3^{n}}+m^{2\cdot3^{n}}$ es divisible por $n$ .

3 Llame $zigzag$ a la línea del plano formada por dos rayos paralelos y el segmento que une los comienzos de estos rayos. ¿Cuál es el número máximo de regiones en que puede dividirse el plano mediante zigzags?

4 Sea $n$ un entero positivo fijo. Halle el número de todas las sucesiones $(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{2n})$ , donde $a_{i}=\pm1$ para todo $1 \leqslant i\leqslant2n$ , que satisfacen la siguiente condición: para todo $1 \leqslant k \leqslant l \leqslant n$ , se tiene \[\left|\sum_{i=2k-1}^{2l}a_{i}\right|\leqslant2.\]

5 En el triángulo $ ABC $ el lado $ BC $ es el menor. En los rayos $ BA $ y $ CA $ , los segmentos $ BD $ y $ CE $ son iguales a $ BC $ . Demuestre que el radio de la circunferencia circunscrita del triángulo $ ADE $ es $ \sqrt{R ^ 2 - 2Rr} $ (donde $ R $ y $ r $ son los radios de las circunferencias circunscrita e inscrita del triángulo $ ABC $ ) .

6 Sean $p_1,p_2,\ldots,p_n$ primos distintos mayores que $3$ . Demuestre que $2^{p_1p_2\cdots p_n}+1$ tiene al menos $4^n$ divisores.

7 Sea $ P (x) $ un polinomio con coeficientes reales tal que $ P (x)> 0 $ para todo $ x \geq 0 $ . Demuestre que existe un entero positivo $ n $ tal que $ (1 + x) ^ n P (x) $ es un polinomio con coeficientes no negativos.

8 Sean $a, b, c$ números reales tales que los números $\frac{1+bc}{b-c}, \frac{1+ac}{c-a}, \frac{1+ab}{b-a}$ son enteros. Demuestre que estos tres enteros son primos relativos dos a dos.

1 Para reales $1\leq a\leq b \leq c \leq d \leq e \leq f$ demuestre la desigualdad $(af + be + cd)(af + bd + ce) \leq (a + b^2 + c^3 )(d + e^2 + f^3 )$ .

3 ¿Existe una sucesión $\{a_n\}$ de enteros positivos que satisfaga las siguientes condiciones: $a)$ todo número natural aparece en esta sucesión y exactamente una vez; $b)$ $a_1 + a_2 +... + a_n$ es divisible por $n^n$ para cada $n = 1,2,3, ...$ ?