5 Un país con $n$ ciudades tiene algunas carreteras de doble sentido que conectan ciertos pares de ciudades. Alguien observa que si el país se divide en dos partes de cualquier manera, entonces habrá a lo sumo $kn$ carreteras entre las dos partes (donde $k$ es un entero positivo fijo). ¿Cuál es el mayor entero $m$ (en términos de $n$ y $k$ ) para el cual se garantiza la existencia de un conjunto de $m$ ciudades, sin que dos de ellas estén directamente conectadas por una carretera?

1 Un conjunto finito $\mathcal S$ de números reales positivos distintos se llama radiante si satisface la siguiente propiedad: si $a$ y $b$ son dos elementos distintos de $\mathcal S$ , entonces $a^2 + b^2$ también es un elemento de $\mathcal S$ . ¿Existe un conjunto radiante de tamaño mayor o igual que $4$ ? Determine todos los conjuntos radiantes de tamaño $2$ o $3$ .

2 Sea $n \geqslant 2$ un entero. Consideremos una cuadrícula cuadrada de tamaño $2n \times 2n$ dividida en $4n^2$ cuadrados unitarios. La cuadrícula se llama equilibrada si: cada casilla contiene un número igual a $-1$ , $0$ o $1$ . El valor absoluto de la suma de los números de la cuadrícula no supera $4n$ . Determine, como función de $n$ , el menor entero $k \geqslant 1$ tal que cualquier cuadrícula equilibrada contiene siempre un cuadrado de $n \times n$ cuya suma absoluta de las $n^2$ casillas sea menor o igual que $k$ .

3 Sea $\triangle{ABC}$ un triángulo, $\omega$ su circunferencia circunscrita y $O$ el centro de $\omega$ . Sea $P$ un punto del segmento $BC$ . Denotamos por $Q$ el segundo punto de intersección de las circunferencias circunscritas de los triángulos $\triangle{AOB}$ y $\triangle{APC}$ . Demuestre que la recta $PQ$ y la tangente a $\omega$ en el punto $A$ se intersecan sobre la circunferencia circunscrita del triángulo $\triangle AOB$ .

4 Charlotte escribe en la pizarra los enteros $1,2,3,\ldots,2025$ . Charlotte tiene dos operaciones disponibles: la operación MCD y la operación MCM. La operación MCD consiste en elegir dos enteros $a$ y $b$ escritos en la pizarra, borrarlos y escribir el entero $\operatorname{gcd}(a, b)$ . La operación MCM consiste en elegir dos enteros $a$ y $b$ escritos en la pizarra, borrarlos y escribir el entero $\operatorname{lcm}(a, b)$ . Un entero $N$ se llama número ganador si existe una sucesión de operaciones tal que, al final, el único entero que queda en la pizarra es $N$ . Halle todos los números ganadores entre $\{1,2,3,\ldots,2025\}$ y, para cada uno de ellos, determine el número mínimo de operaciones MCD que Charlotte debe usar. Nota: El número $\operatorname{gcd}(a, b)$ denota el máximo común divisor de $a$ y $b$ , mientras que el número $\operatorname{lcm}(a, b)$ denota el mínimo común múltiplo de $a$ y $b$ .

1 Sea $a_1, a_2, a_3, \ldots$ una sucesión de enteros positivos que satisface la siguiente propiedad: para todos los enteros positivos $k < \ell$ , para todos los enteros distintos $m_1, m_2, \ldots, m_k$ y para todos los enteros distintos $n_1, n_2, \ldots, n_\ell$ , \[ a_{m_1} + a_{m_2} + \cdots + a_{m_k} \leqslant a_{n_1} + a_{n_2} + \cdots + a_{n_\ell}. \] Demuestre que existen dos enteros $N$ y $b$ tales que $a_n = b$ para todo $n \geqslant N$ .

2 Igual que la versión Junior

3 Sea $\omega$ una circunferencia con centro $O$ . Sean $B$ y $C$ dos puntos fijos de la circunferencia $\omega$ y sea $A$ un punto variable sobre $\omega$ . Denotamos por $X$ el punto de intersección de las rectas $OB$ y $AC$ , suponiendo que $X \neq O$ . Sea $\gamma$ la circunferencia circunscrita del triángulo $\triangle AOX$ . Sea $Y$ el segundo punto de intersección de $\gamma$ con $\omega$ . La tangente a $\gamma$ en $Y$ interseca a $\omega$ en $I$ . La recta $OI$ interseca a $\omega$ en $J$ . La mediatriz del segmento $OY$ interseca a la recta $YI$ en $T$ , y la recta $AJ$ interseca a $\gamma$ en $P$ . Denotamos por $Z$ el segundo punto de intersección de la circunferencia circunscrita del triángulo $\triangle PYT$ con $\omega$ . Demuestre que, cuando el punto $A$ varía, los puntos $Y$ y $Z$ permanecen fijos.

4 Determine todas las sucesiones de enteros estrictamente positivos $a_1, a_2, a_3, \ldots$ que satisfacen las dos condiciones siguientes: existe un entero $M > 0$ tal que, para todos los índices $n \geqslant 1$ , se tiene $0 < a_n \leqslant M$ . Para cualquier número primo $p$ y para cualquier índice $n \geqslant 1$ , el número \[ a_n a_{n+1} \cdots a_{n+p-1} - a_{n+p} \] es un múltiplo de $p$ .

1 El entero positivo $ n $ verifica $$\frac{1}{1\cdot(\sqrt{2}+\sqrt{1})+\sqrt{1}}+\frac{1}{2\cdot(\sqrt{3}+\sqrt{2})+\sqrt{2}}+\cdots+\frac{1}{n\cdot(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})+\sqrt{n}}=\frac{2022}{2023}.$$ Halle la suma de los dígitos del número $ n $ .