69 Sean $ k$ y $ s$ enteros positivos. Para conjuntos de números reales $ \{\alpha_1, \alpha_2, \ldots , \alpha_s\}$ y $ \{\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_s\}$ que satisfacen \[ \sum^s_{i=1} \alpha^j_i = \sum^s_{i=1} \beta^j_i \quad \forall j = \{1,2 \ldots, k\}\] escribimos \[ \{\alpha_1, \alpha_2, \ldots , \alpha_s\} \overset{k}{=} \{\beta_1, \beta_2, \ldots , \beta_s\}.\] Demuestre que si \[ \{\alpha_1, \alpha_2, \ldots , \alpha_s\} \overset{k}{=} \{\beta_1, \beta_2, \ldots , \beta_s\}\] y $ s \leq k,$ entonces existe una permutación $ \pi$ de $ \{1, 2, \ldots , s\}$ tal que \[ \beta_i = \alpha_{\pi(i)} \quad \forall i = 1,2, \ldots, s.\]

70 Dado que \[ \frac{\cos(x) + \cos(y) + \cos(z)}{\cos(x+y+z)} = \frac{\sin(x)+ \sin(y) + \sin(z)}{\sin(x + y + z)} = a,\] demuestre que \[ \cos(y+z) + \cos(z+x) + \cos(x+y) = a.\]

71 Se dice que una permutación $ \{x_1, x_2, \ldots, x_{2n}\}$ del conjunto $ \{1,2, \ldots, 2n\}$, donde $ n$ es un entero positivo, tiene la propiedad $ T$ si $ |x_i - x_{i + 1}| = n$ para al menos un $ i$ en $ \{1,2, \ldots, 2n - 1\}.$ Demuestre que, para cada $ n$ , hay más permutaciones con la propiedad $ T$ que sin ella.

73 Se nos da una colección finita de segmentos en el plano, de longitud total 1. Demuestre que existe una recta $ l$ tal que la suma de las longitudes de las proyecciones de los segmentos dados sobre la recta $ l$ es menor que $ \frac{2}{\pi}.$

65 Sea $ ABCD$ un cuadrilátero inscrito en un círculo de radio $ AB$ tal que $ BC = a, CD = b,$ $ DA = \frac{3 \sqrt{3} - 1}{2} \cdot a$ Para cada punto $ M$ de la semicircunferencia de radio $ AB$ que no contiene a $ C$ ni a $ D,$ denótese por $ h_1, h_2, h_3$ las distancias desde $ M$ a las rectas (lados) $ BC, CD,$ y $ DA.$ Halle el máximo de $ h_1 + h_2 + h_3.$

66 Sean $ n$ y $ k$ enteros positivos y sea $ S$ un conjunto de $ n$ puntos en el plano tal que i.) no hay tres puntos de $ S$ colineales, y ii.) para cada punto $ P$ de $ S$ hay al menos $ k$ puntos de $ S$ equidistantes de $ P.$ Demuestre que: \[ k < \frac {1}{2} + \sqrt {2 \cdot n} \]

74 Para puntos $ A_1, \ldots ,A_5$ sobre la esfera de radio 1, ¿cuál es el valor máximo que puede tomar $ min_{1 \leq i,j \leq 5} A_iA_j$? Determine todas las configuraciones para las cuales se alcanza este máximo. (O bien: determine el diámetro de cualquier conjunto $ \{A_1, \ldots ,A_5\}$ para el cual se alcanza este máximo.)

75 Resuelva en el conjunto de los números reales la ecuación \[ 3x^3 - [x] = 3,\] donde $ [x]$ denota la parte entera de $ x.$

76 Poldavia es un reino extraño. Su unidad monetaria es el bourbaki y solo existen dos tipos de monedas: unas de oro y unas de plata. Cada moneda de oro vale $ n$ bourbakis y cada moneda de plata vale $ m$ bourbakis ( $ n$ y $ m$ son enteros positivos). Usando monedas de oro y plata, es posible obtener sumas tales como 10000 bourbakis, 1875 bourbakis, 3072 bourbakis, y así sucesivamente. Pero el sistema monetario de Poldavia no es tan extraño como parece: (a) Demuestre que es posible comprar cualquier cosa que cueste un número entero de bourbakis, siempre que se pueda recibir cambio. (b) Demuestre que cualquier pago superior a $ mn-2$ bourbakis puede hacerse sin necesidad de recibir cambio.

78 Sea $ P(x)$ un polinomio con coeficientes enteros tal que \[ P(m_1) = P(m_2) = P(m_3) = P(m_4) = 7\] para enteros distintos dados $ m_1,m_2,m_3,$ y $ m_4.$ Demuestre que no existe un entero m tal que $ P(m) = 14.$