3 Sea $n$ un entero positivo. Dado un tablero $n\times n$ , la celda unitaria de la esquina superior izquierda está inicialmente coloreada de negro y las demás celdas están coloreadas de blanco. A continuación aplicamos una serie de operaciones de coloreado al tablero. En cada operación, elegimos un cuadrado $2\times 2$ con exactamente una celda coloreada de negro y coloreamos de negro las tres celdas restantes de ese cuadrado $2\times 2$ . Determine todos los valores de $n$ para los cuales podemos colorear todo el tablero de negro. Propuesto por Eduardo Aragon, Peru

4 Sean $B$ y $C$ puntos arbitrarios sobre los lados $AP$ y $PD$ , respectivamente, de un triángulo acutángulo $APD$ . Las diagonales del cuadrilátero $ABCD$ se cortan en $Q$ , y $H_1,H_2$ son los ortocentros de los triángulos $APD$ y $BPC$ , respectivamente. Demuestre que si la recta $H_1H_2$ pasa por el punto de intersección $X \ (X \neq Q)$ de las circunferencias circunscritas de los triángulos $ABQ$ y $CDQ$ , entonces también pasa por el punto de intersección $Y \ (Y \neq Q)$ de las circunferencias circunscritas de los triángulos $BCQ$ y $ADQ.$ Amir

1 Suponga que $M$ es un conjunto de $2003$ números tal que, para cualesquiera $a, b, c \in M$ distintos, el número $a^2 + bc$ es racional. Demuestre que existe un entero positivo $n$ tal que $a\sqrt n$ es racional para todo $a \in M.$ Amir

5 Para cada $1\leq i\leq 9$ y $T\in\mathbb N$ , defina $d_i(T)$ como el número total de veces que aparece el dígito $i$ cuando todos los múltiplos de $1829$ entre $1$ y $T$ inclusive se escriben en base $10$ . Demuestre que hay infinitos $T\in\mathbb N$ tales que hay exactamente dos valores distintos entre $d_1(T)$ , $d_2(T)$ , $\dots$ , $d_9(T)$ .

3 Muestre que $n!=a^{n-1}+b^{n-1}+c^{n-1}$ tiene solo un número finito de soluciones en enteros positivos. Propuesto por Dorlir Ahmeti, Albania

6 Lucy comienza escribiendo $s$ tuplas de enteros de $2022$ - componentes en una pizarra. Después de hacer eso, puede tomar dos tuplas cualesquiera (no necesariamente distintas) $\mathbf{v}=(v_1,\ldots,v_{2022})$ y $\mathbf{w}=(w_1,\ldots,w_{2022})$ que ya haya escrito, y aplicar una de las siguientes operaciones para obtener una nueva tupla: \begin{align*} \mathbf{v}+\mathbf{w}&=(v_1+w_1,\ldots,v_{2022}+w_{2022}) \\ \mathbf{v} \lor \mathbf{w}&=(\max(v_1,w_1),\ldots,\max(v_{2022},w_{2022})) \end{align*} y luego escribir esta tupla en la pizarra. Resulta que, de esta manera, Lucy puede escribir cualquier tupla de enteros de $2022$ - componentes en la pizarra tras un número finito de pasos. ¿Cuál es el menor número posible $s$ de tuplas que escribió inicialmente?

Sea $ABC$ un triángulo donde los ángulos $ABC$ y $BAC$ son agudos. La bisectriz de los ángulos interno y externo del ángulo $BAC$ interseca la recta $BC$ en los puntos $D$ y $E$, respectivamente. Sea $O$ el centro de la circunferencia circunscrita del triángulo $ADE$. Si el punto $P$ está sobre esta circunferencia de centro $O$, demuestra que $$ \frac{BP}{PC}=\frac{OB}{OA}. $$

2 Las diagonales de un cuadrilátero cíclico $ABCD$ se cortan en $O$ . Sean $S_1, S_2$ las circunferencias circunscritas de los triángulos $ABO$ y $CDO$ , respectivamente, y sean $O,K$ sus puntos de intersección. Las rectas que pasan por $O$ paralelas a $AB$ y $CD$ cortan de nuevo a $S_1$ y $S_2$ en $L$ y $M$ , respectivamente. Se toman puntos $P$ y $Q$ sobre los segmentos $OL$ y $OM$ , respectivamente, tales que $OP : PL = MQ : QO$ . Demuestre que $O,K, P,Q$ están sobre una circunferencia.

3 Se da un árbol con $n\geq 2$ vértices. (Un árbol es un grafo conexo sin ciclos.) A los vértices del árbol se les asocian números reales $x_1,x_2,\dots,x_n$ . A cada arista se le asocia el producto de los dos números correspondientes a los vértices que une. Sea $S$ la suma de los números de todas las aristas. Demuestre que \[\sqrt{n-1}\left(x_1^2+x_2^2+\dots+x_n^2\right)\geq 2S.\] (Autor: V. Dolnikov)

4 Se dan en un plano un conjunto finito de puntos $X$ y un triángulo equilátero $T$ . Suponga que todo subconjunto $X'$ de $X$ con no más de $9$ elementos puede ser cubierto por dos imágenes de $T$ mediante traslaciones. Demuestre que todo el conjunto $X$ puede ser cubierto por dos imágenes de $T$ mediante traslaciones.