2 Sea $P$ un polígono convexo y simétrico respecto a algún punto $O$ . Demuestre que para algún paralelogramo $R$ que satisface $P\subset R$ se tiene \[\frac{|R|}{|P|}\leq \sqrt 2\] donde $|R|$ y $|P|$ denotan el área de los conjuntos $R$ y $P$ , respectivamente. Propuesto por Witold Szczechla, Polonia

3 En un tablero de $999\times 999$ , una torre coja puede moverse de la siguiente manera: desde cualquier casilla puede moverse a cualquiera de sus casillas adyacentes, es decir, una casilla que comparte un lado con ella, y cada movimiento debe ser un giro, es decir, las direcciones de dos movimientos consecutivos cualesquiera deben ser perpendiculares. Una ruta sin autointersecciones de la torre coja consiste en una sucesión de casillas dos a dos distintas que la torre coja puede visitar en ese orden mediante una sucesión admisible de movimientos. Tal ruta sin autointersecciones se llama cíclica , si la torre coja puede, después de alcanzar la última casilla de la ruta, moverse directamente a la primera casilla de la ruta y comenzar de nuevo. ¿Cuántas casillas visita la ruta cíclica sin autointersecciones más larga posible de una torre coja? Propuesto por Nikolay Beluhov, Bulgaria

1 Sea $f$ una función no constante del conjunto de los enteros positivos en el conjunto de los enteros positivos, tal que $a-b$ divide a $f(a)-f(b)$ para todos los enteros positivos distintos $a$ , $b$ . Demuestre que existen infinitos primos $p$ tales que $p$ divide a $f(c)$ para algún entero positivo $c$ . Propuesto por Juhan Aru, Estonia

2 Cinco cubos vacíos idénticos de capacidad de $2$ litros se encuentran en los vértices de un pentágono regular. Cenicienta y su malvada Madrastra pasan por una secuencia de rondas: al comienzo de cada ronda, la Madrastra toma un litro de agua del río cercano y lo distribuye arbitrariamente entre los cinco cubos. Luego Cenicienta elige un par de cubos vecinos, los vacía en el río y los vuelve a poner en su lugar. Entonces comienza la siguiente ronda. El objetivo de la Madrastra es hacer que uno de estos cubos se desborde. El objetivo de Cenicienta es impedirlo. ¿Puede la malvada Madrastra forzar el desbordamiento de un cubo? Propuesto por Gerhard Woeginger, Países Bajos

1 Sea $ n > 1, n \in \mathbb{Z}$ y $ B =\{1,2,\ldots, 2^n\}.$ Un subconjunto $ A$ de $ B$ se llama extraño si contiene exactamente uno de los elementos distintos $ x,y \in B$ tales que la suma de $ x$ y $ y$ es una potencia de dos. ¿Cuántos subconjuntos extraños tiene $ B$ ?

3 Sea $ABCD$ un cuadrilátero circunscrito. Sea $g$ una recta que pasa por $A$ que corta al segmento $BC$ en $M$ y a la recta $CD$ en $N$ . Denote por $I_1$ , $I_2$ e $I_3$ los incentros de $\triangle ABM$ , $\triangle MNC$ y $\triangle NDA$ , respectivamente. Demuestre que el ortocentro de $\triangle I_1I_2I_3$ se encuentra sobre $g$ . Propuesto por Nikolay Beluhov, Bulgaria

1 Una sucesión $\left(a_n\right)$ con $a_1 = 1$ satisface la siguiente recursión: en la expansión decimal de $a_n$ (sin ceros finales), sea $k$ el dígito más pequeño; entonces $a_{n+1} = a_n + 2^k.$ ¿Cuántos dígitos tiene $a_{9 \cdot 10^{2010}}$ en su expansión decimal?

2 Sea $ABC$ un triángulo con incentro $I$ y sean $X$ , $Y$ y $Z$ los incentros de los triángulos $BIC$ , $CIA$ y $AIB$ , respectivamente. Sea el triángulo $XYZ$ equilátero. Demuestre que $ABC$ también es equilátero. Propuesto por Mirsaleh Bahavarnia, Irán

3 Sea $P(x)$ un polinomio no constante con coeficientes enteros. Demuestre que no existe una función $T$ del conjunto de los enteros en el conjunto de los enteros tal que el número de enteros $x$ con $T^n(x)=x$ sea igual a $P(n)$ para todo $n\geq 1$ , donde $T^n$ denota la aplicación $n$ - veces iterada de $T$ . Propuesto por Jozsef Pelikan, Hungría

4 Sea un cuadrado de $n\times n$ (donde $n$ es un entero positivo) que consta de $n^2$ cuadrados unitarios. Un *camino monótono* en este cuadrado es un camino de longitud $2n$ que comienza en la esquina inferior izquierda del cuadrado, termina en su esquina superior derecha y recorre los lados de los cuadrados unitarios. Para cada $k$, $0\leq k\leq 2n-1$, sea $S_k$ el conjunto de todos los caminos monótonos tales que el número de cuadrados unitarios que quedan debajo del camino deja resto $k$ al dividirse por $2n-1$. Demuestra que todos los $S_k$ contienen el mismo número de elementos.