Los números $1,2,3,...,23$ están escritos en un tablero. Ana y Ben juegan el siguiente juego: en cada movimiento, el jugador al que le toca jugar elige uno de los números restantes tal que al menos un número consecutivo al número elegido todavía esté en el tablero. Un jugador pierde el juego si ya no puede elegir un número. Si Ana comienza el juego, ¿qué jugador tiene una estrategia ganadora?

En tres montones diferentes hay $51$ , $49$ y $5$ piedras, respectivamente. Se pueden combinar dos montones en un montón más grande o se puede separar un montón que contenga una cantidad par de piedras en dos montones iguales. ¿Es posible que después de algunos turnos podamos separar las piedras en $105$ montones con $1$ piedra en cada montón?

Halle el menor número natural $k$ tal que existan un número natural $n$ y números primos $p_1,p_2 , \dots , p_k$ tales que: $$p_1^2 + p_2^2 + \dots + p_k^2 = n!$$

Sean $a$ y $b$ números reales positivos tales que $a^2+b^2 \geq 2$ . Demuestre que se cumple la siguiente desigualdad: $$ \frac {a}{b+1}+\frac{b}{a+1} \geq \frac {2}{a+b} .$$

Sea $ABCDE$ un pentágono convexo tal que $\angle BCD+\angle DEA = 180^{\circ}$ y $AD=BD$ . Demuestre que los circuncentros de los triángulos $\triangle DEA$ , $\triangle DAB$ , $\triangle DBC$ y el punto $D$ están sobre una circunferencia.

Se da el conjunto $\mathbb{S}=\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ . Ben elige aleatoriamente algunos números (al menos dos) del conjunto y los multiplica. ¿Cuáles son las probabilidades de que el producto de estos números sea divisible por 3?

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico con $AD \nparallel BC$ y sea $E$ la intersección de sus diagonales. Sea $F$ un punto sobre el segmento $AB$ . Sean $G$ y $H$ puntos sobre las rectas $AC$ y $BD$ , respectivamente, tales que $FG \parallel BC$ y $FH \parallel AD$ . Demuestre que cuando $F$ se mueve a lo largo del segmento $AB$ , la circunferencia circunscrita del triángulo $\triangle EGH$ pasa por un punto fijo distinto de $E$ .

Sean $a$ , $b$ , $c$ y $d$ números reales tales que $a+b+c+d=0$ y la suma de cualesquiera dos de ellos es distinta de cero. Demuestre que se cumple la siguiente desigualdad: $$\frac{ab}{(a+b)^2} + \frac{bc}{(b+c)^2} + \frac{cd}{(c+d)^2} + \frac{da}{(d+a)^2} + \frac{ac}{(a+c)^2} + \frac{bd}{(b+d)^2} \leq -\frac{3}{2}.$$ ¿Cuándo ocurre la igualdad?

Sea $p$ un número primo impar. Demuestre que para todo $p$ de este tipo, sin importar cómo dividamos el conjunto $$ \mathbb{A} = \{1^{p^2-p}, 2^{p^2-p},..., (p-1)^{p^2-p}, p^2-p+1\}, $$ en dos conjuntos disjuntos, las medias aritméticas de los elementos de los dos subconjuntos no pueden ser iguales.

1 Ana tiene $22$ monedas. Puede tomar de sus amigos $6$ monedas o $18$ monedas, o puede dar $12$ monedas a sus amigos. Puede hacer estas operaciones tantas veces como quiera. Halle el menor número de monedas que Ana puede tener.