A5 Sean $a, b, c$ y $d$ números reales tales que $a + b + c + d = 2$ y $ab + bc + cd + da + ac + bd = 0$. Encuentra el valor mínimo y el valor máximo del producto $abcd$.

Los números reales positivos $a, b, c$ satisfacen la igualdad $a + b + c = 1$. Para todo número natural $n$ encuentra el valor mínimo posible de la expresión $$E=\frac{a^{-n}+b}{1-a}+\frac{b^{-n}+c}{1-b}+\frac{c^{-n}+a}{1-c}$$

1 Sea $n$ un entero positivo impar, y sean $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ números reales no negativos. Demuestra que \[ \min_{i=1,\ldots,n} (x_i^2+x_{i+1}^2) \leq \max_{j=1,\ldots,n} (2x_jx_{j+1}) \] donde $x_{n+1}=x_1$.

2 Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico, y sean las diagonales $AC$ y $BD$ que se intersectan en $X$. Sean $C_1$, $D_1$ y $M$ los puntos medios de los segmentos $CX$, $DX$ y $CD$, respectivamente. Las rectas $AD_1$ y $BC_1$ se intersectan en $Y$, y la recta $MY$ intersecta a las diagonales $AC$ y $BD$ en puntos distintos $E$ y $F$, respectivamente. Demuestra que la recta $XY$ es tangente al círculo que pasa por $E$, $F$ y $X$.

3 Sea $m$ un entero positivo. Considera un arreglo de $4m\times 4m$ celdas cuadradas unitarias. Dos celdas diferentes están relacionadas entre sí si están en la misma fila o en la misma columna. Ninguna celda está relacionada consigo misma. Algunas celdas se colorean de azul, de modo que cada celda está relacionada con al menos dos celdas azules. Determina el número mínimo de celdas azules.

4 Dos círculos $\omega_1$ y $\omega_2$, de igual radio, se intersecan en puntos distintos $X_1$ y $X_2$. Considera un círculo $\omega$ tangente externamente a $\omega_1$ en $T_1$ e internamente a $\omega_2$ en el punto $T_2$. Demuestra que las rectas $X_1T_1$ y $X_2T_2$ se intersecan en un punto que yace sobre $\omega$.

5 Sean $k$ y $n$ enteros tales que $k\ge 2$ y $k \le n \le 2k-1$. Coloca baldosas rectangulares, cada una de tamaño $1 \times k$, o $k \times 1$, sobre un tablero de ajedrez de $n \times n$ de modo que cada baldosa cubra exactamente $k$ celdas y no haya dos baldosas superpuestas. Haz esto hasta que no se pueda colocar ninguna baldosa más de esta manera. Para cada par de $k$ y $n$, determina el número mínimo de baldosas que puede contener tal arreglo.

18 Encuentra todos los enteros positivos $n$ tales que el conjunto $\{n,n+1,n+2,n+3,n+4,n+5\}$ puede particionarse en dos subconjuntos de modo que el producto de los números en cada subconjunto sea igual.

6 Sea $S$ el conjunto de todos los enteros positivos $n$ tales que $n^4$ tiene un divisor en el rango $n^2 +1, n^2 + 2,...,n^2 + 2n$. Demuestra que hay infinitos elementos de $S$ de cada una de las formas $7m, 7m+1, 7m+2, 7m+5, 7m+6$ y ningún elemento de $S$ de la forma $7m+3$ y $7m+4$, donde $m$ es un entero.

1 Supón que $O$ es un punto dentro de un cuadrilátero convexo $ABCD$ tal que \[ OA^2 + OB^2 + OC^2 + OD^2 = 2\mathcal A[ABCD] , \] donde con $\mathcal A[ABCD]$ hemos denotado el área de $ABCD$. Demuestra que $ABCD$ es un cuadrado y que $O$ es su centro. Yugoslavia Valentin