4 Sean $\mathcal O_{1}$ y $\mathcal O_{2}$ dos circunferencias exteriores. Sean $A$ , $B$ , $C$ puntos sobre $\mathcal O_{1}$ y $D$ , $E$ , $F$ puntos sobre $\mathcal O_{1}$ tales que $AD$ y $BE$ son las tangentes exteriores comunes a estas dos circunferencias y $CF$ es una de las tangentes interiores a estas dos circunferencias, y tales que $C$ , $F$ están en el interior del cuadrilátero $ABED$ . Si $CO_{1}\cap AB=\{M\}$ y $FO_{2}\cap DE=\{N\}$ entonces demuestre que $MN$ pasa por el punto medio de $CF$ .

1 Sea \[f = X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\ldots+a_{1}X+a_{0}\] un polinomio entero de grado $n \geq 3$ tal que $a_{k}+a_{n-k}$ es par para todo $k \in \overline{1,n-1}$ y $a_{0}$ es par. Suponga que $f = gh$ , donde $g,h$ son polinomios enteros y $\deg g \leq \deg h$ y todos los coeficientes de $h$ son impares. Demuestre que $f$ tiene una raíz entera.

2 Sea $ABC$ un triángulo, $E$ y $F$ los puntos donde la circunferencia inscrita y la circunferencia exinscrita relativa a $A$ tocan a $AB$ , y $D$ el punto sobre $BC$ tal que los triángulos $ABD$ y $ACD$ tienen inradios iguales. Las rectas $DB$ y $DE$ intersecan nuevamente a la circunferencia circunscrita del triángulo $ADF$ en los puntos $X$ y $Y$ . Demuestre que $XY\parallel AB$ si y solo si $AB=AC$ .

3 Halle todos los subconjuntos $A$ de $\left\{ 1, 2, 3, 4, \ldots \right\}$ , con $|A| \geq 2$ , tales que para todo $x,y \in A, \, x \neq y$ , tenemos que $\frac{x+y}{\gcd (x,y)}\in A$ . Dan Schwarz

4 Sea $S$ el conjunto de las $n$ - uplas $\left( x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)$ tales que $x_{i}\in \{ 0, 1 \}$ para todo $i \in \overline{1,n}$ , donde $n \geq 3$ . Sea $M(n)$ el entero más pequeño con la propiedad de que cualquier subconjunto de $S$ con al menos $M(n)$ elementos contenga al menos tres $n$ - uplas \[\left( x_{1}, \ldots, x_{n}\right), \, \left( y_{1}, \ldots, y_{n}\right), \, \left( z_{1}, \ldots, z_{n}\right) \] tales que \[\sum_{i=1}^{n}\left( x_{i}-y_{i}\right)^{2}= \sum_{i=1}^{n}\left( y_{i}-z_{i}\right)^{2}= \sum_{i=1}^{n}\left( z_{i}-x_{i}\right)^{2}. \] (a) Demuestre que $M(n) \leq \left\lfloor \frac{2^{n+1}}{n}\right\rfloor+1$ . (b) Calcule $M(3)$ y $M(4)$ .

1 Sea $\mathcal{F}$ el conjunto de todas las funciones $f : \mathcal{P}(S) \longrightarrow \mathbb{R}$ tales que para todo $X, Y \subseteq S$ , tenemos $f(X \cap Y) = \min (f(X), f(Y))$ , donde $S$ es un conjunto finito (y $\mathcal{P}(S)$ es el conjunto de sus subconjuntos). Halle \[\max_{f \in \mathcal{F}}| \textrm{Im}(f) |. \] Valentin

2 Demuestre que para $n, p$ enteros, $n \geq 4$ y $p \geq 4$ , la proposición $\mathcal{P}(n, p)$ \[\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{{x_{i}}^{p}}\geq \sum_{i=1}^{n}{x_{i}}^{p}\quad \textrm{for}\quad x_{i}\in \mathbb{R}, \quad x_{i}> 0 , \quad i=1,\ldots,n \ ,\quad \sum_{i=1}^{n}x_{i}= n,\] es falsa. Dan Schwarz Observación En la competencia, se informó a los estudiantes (hecho que en realidad no se relaciona con la solución del problema) que las proposiciones $\mathcal{P}(4, 3)$ son $\mathcal{P}(3, 4)$ verdaderas. Valentin

3 Sean $a_{i}$ , $i = 1,2, \dots ,n$ , $n \geq 3$ , enteros positivos, con máximo común divisor 1, tales que \[a_{j}\textrm{ divide }\sum_{i = 1}^{n}a_{i}\] para todo $j = 1,2, \dots ,n$ . Demuestre que \[\prod_{i = 1}^{n}a_{i}\textrm{ divides }\Big{(}\sum_{i = 1}^{n}a_{i}\Big{)}^{n-2}.\] Valentin

1 Sea $ ABCDE$ un pentágono convexo tal que $ AB+CD=BC+DE$ y $ k$ una circunferencia con centro en el lado $ AE$ que es tangente a los lados $ AB$ , $ BC$ , $ CD$ y $ DE$ en los puntos $ P$ , $ Q$ , $ R$ y $ S$ (distintos de los vértices del pentágono) respectivamente. Demuestre que las rectas $ PS$ y $ AE$ son paralelas.

4 Los puntos $M, N, P$ se eligen sobre los lados $BC, CA, AB$ de un triángulo $\Delta ABC$ , tales que el triángulo $\Delta MNP$ es acutángulo. Denotamos con $x$ la longitud de la altura más corta del triángulo $\Delta ABC$ , y con $X$ la longitud de la altura más larga del triángulo $\Delta MNP$ . Demuestre que $x \leq 2X$ . Valentin