$ k>1$$ n$\[ n|1^n+2^n+\dots+k^n\]

3 Halle todos los polinomios de dos variables $p(x,y)$ tales que para cada $a,b,c\in\mathbb R$ : \[p(ab,c^2+1)+p(bc,a^2+1)+p(ca,b^2+1)=0\] Omid

5 Sean $a,b,c$ números enteros. Sean $x=\frac{p}{q}$ , $y=\frac{r}{s}$ números racionales que satisfacen $y^2=x^3+ax^2+bx+c$ . Demuestre que existe un entero $t$ tal que $q=t^2$ , $s=t^3$ .

1–10 1. Sea $n$ un entero positivo fijo. El valor de $k$ para el cual $\int_{1}^{k} x^{n-1}\,dx = \frac{1}{n}$ es $\textbf{(A)}\; 0 \quad \textbf{(B)}\; 2^n \quad \textbf{(C)}\; \left(\frac{2}{n}\right)^{\frac{1}{n}} \quad \textbf{(D)}\; 2^{\frac{1}{n}}.$ 2. Sea $S = \{a,b,c\}$ , $T = \{1,2\}$ . Si $m$ denota el número de funciones inyectivas y $n$ denota el número de funciones sobreyectivas de $S$ a $T$ , entonces los valores de $m$ y $n$ respectivamente son $\textbf{(A)}\; 6,0 \quad \textbf{(B)}\; 0,6 \quad \textbf{(C)}\; 5,6 \quad \textbf{(D)}\; 0,8.$ 3. En el sistema binario, $\frac{1}{2}$ se puede escribir como $\textbf{(A)}\; 0.01111\ldots \quad \textbf{(B)}\; 0.01000\ldots \quad \textbf{(C)}\; 0.0101\ldots \quad \textbf{(D)}\; \text{None of these}.$ 4. Para la ecuación $|z|^2 + |z| - 6 = 0$ $\textbf{(A)}\; \text{there is only one root} \quad \textbf{(B)}\; \text{the sum of the roots is } -1 \quad \textbf{(C)}\; \text{the sum of the roots is } 0 \quad \textbf{(D)}\; \text{the product of the roots is } -6.$ 5. El valor de $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1\cdot1! + 2\cdot 2! + \cdots + n \cdot n!}{(n+1)!}$ $\textbf{(A)}\; 1 \quad \textbf{(B)}\; 2 \quad \textbf{(C)}\; \frac{1}{2} \quad \textbf{(D)}\; \text{does not exist}.$ 6. Sean $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ y $g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ funciones derivables tales que $f'(x) > g'(x)$ para todo $x$ . Entonces las gráficas $y=f(x)$ y $y=g(x)$ $\textbf{(A)}\; \text{intersect exactly once} \quad \textbf{(B)}\; \text{intersect at most once} \quad \textbf{(C)}\; \text{do not intersect} \quad \textbf{(D)}\; \text{could intersect more than once}.$ 7. La función $|x|^{3}$ es $\textbf{(A)}\; \text{differentiable twice but not thrice at } 0. \quad \textbf{(B)}\; \text{not differentiable at } 0. \quad \textbf{(C)}\; \text{three times differentiable at } 0. \quad \textbf{(D)}\; \text{differentiable only once at } 0.$ 8. Sea $A$ la matriz $n \times n$ $(n \ge 2)$ , cuya entrada $(i,j)^{\text{th}}$ es $i + j$ para todo $i,j = 1,2,\ldots,n$ . El rango de $A$ es $\textbf{(A)}\; 2 \quad \textbf{(B)}\; 1 \quad \textbf{(C)}\; n \quad \textbf{(D)}\; n - 1.$ 9. Sea $A = -1 + 0i$ el punto en el plano complejo. Sea $PQR$ un arco con centro en $A$ y radio $2$ . Si $P = -1 + \sqrt{2} + \sqrt{2}i$ , $Q = -1 + 0i$ y $R = -1 + \sqrt{2} - \sqrt{2}i$ , entonces la región sombreada está dada por https://i.ibb.co/BKgDrGsY/image.png $\textbf{(A)}\; |z + 1| < 2,\ \arg(z + 1) < \frac{\pi}{2} \quad \textbf{(B)}\; |z - 1| < 2,\ \arg(z - 1) < \frac{\pi}{2}$ $\textbf{(C)}\; |z + 1| > 2,\ \arg(z + 1) < \frac{\pi}{4} \quad \textbf{(D)}\; |z - 1| > 2,\ \arg(z + 1) < \frac{\pi}{4}$ 10. La solución de $\displaystyle \frac{dy}{dx} = a^{x+y}$ es $\textbf{(A)}\; a^x - a^y = c \quad \textbf{(B)}\; a^{-x} + a^{-y} = c \quad \textbf{(C)}\; a^{-x} - a^{-y} = c \quad \textbf{(D)}\; a^x + a^{-y} = c$

1 Sea $f \colon [0, 4] \to [3, 9]$ una función continua. Demuestre que existe $x_0$ tal que $f(x_0) = \frac{3x_0 + 6}{2}$ .

2 Suponga que $a$ , $b$ , $c$ son números reales tales que $a+b+c > 0$ , $abc > 0$ y $ab+bc+ac > 0$ . Demuestre que $a$ , $b$ , $c$ son todos positivos.

3 Sea $f$ una función continua en $[0, 2]$ y dos veces derivable en $(0, 2)$ . Si $f(0) = 0$ , $f(1) = 1$ y $f(2) = 2$ , demuestre que existe $x_0$ tal que $f''(x_0) = 0$ .

4 Los enteros $1, 2, \dots, n$ se colocan de tal manera que cada valor es mayor que todos los valores precedentes o menor que todos los valores precedentes. ¿De cuántas maneras se puede hacer esto? (Por ejemplo, en el caso de $n = 5$ , $3 \ 2 \ 4 \ 1 \ 5$ es válido y $3 \ 2 \ 5 \ 1 \ 4$ no es válido.)

1 Considere un triángulo rectángulo isósceles con catetos de longitud fija $a$ . Inscriba un rectángulo y un círculo dentro del triángulo como se indica en la figura. Encuentre las dimensiones del rectángulo y el radio del círculo que hacen máxima el área total del rectángulo y del círculo. https://i.ibb.co/pvf1NX3n/image.png

2 Suponga que $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es una función continua e inyectiva. Si existe un entero positivo $n$ tal que $f^n(x) = x$ , para todo $x \in \mathbb{R}$ , demuestre que o bien $f(x) = x$ o bien $f^2(x) = x$ . (Observe que $f^n(x) = f(f^{n-1}(x))$ . )