Se tiene un tablero de $8 \times 8$, con lados orientados de norte a sur y de este a oeste. Está dividido en celdas de $1 \times 1$ de la manera usual. En cada celda hay a lo más una casa. Una casa ocupa solo una celda. Una casa está a la sombra si hay una casa en cada una de las celdas al sur, al este y al oeste de su celda. En particular, ninguna casa colocada en el lado sur, este u oeste del tablero está a la sombra. Encuentra el número máximo de casas que se pueden colocar en el tablero de modo que ninguna casa esté a la sombra.

4 Un examen fue tomado por algunos estudiantes. Cada problema valía $1$ punto por la respuesta correcta y $0$ puntos por una incorrecta. Para cada pregunta, al menos un estudiante la respondió correctamente. Además, hay dos estudiantes con puntajes diferentes en el examen. Demuestra que existe una pregunta para la cual se cumple lo siguiente: El promedio de puntaje de los estudiantes que respondieron la pregunta correctamente es mayor que el promedio de puntaje de los estudiantes que no la respondieron correctamente.

5 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo para el cual $AB \neq AC$, y sea $O$ su circuncentro. La recta $AO$ corta a la circunferencia circunscrita de $ABC$ nuevamente en $D$, y a la recta $BC$ en $E$. La circunferencia circunscrita de $CDE$ corta a la recta $CA$ nuevamente en $P$. Las rectas $PE$ y $AB$ se intersectan en $Q$. La recta que pasa por $O$ paralela a la recta $PE$ intersecta a la $A$-altura de $ABC$ en $F$. Demuestra que $FP = FQ$.

6 Sea $ABC$ un triángulo para el cual $AB \neq AC$. Los puntos $K$, $L$, $M$ son los puntos medios de los lados $BC$, $CA$, $AB$. La circunferencia inscrita de $ABC$ con centro $I$ es tangente a $BC$ en $D$. Una recta que pasa por el punto medio de $ID$ y es perpendicular a $IK$ corta a la recta $LM$ en $P$. Demuestra que $\angle PIA = 90^{\circ}$.

7 Un entero positivo $n$ es Mozart si la representación decimal de la secuencia $1, 2, \ldots, n$ contiene cada dígito un número par de veces. Demuestra que: 1. Todos los números Mozart son pares. 2. Hay infinitos números Mozart.

8 Para un entero positivo $n$, se da la ecuación $a^2 + b^2 + c^2 + n = abc$ en los enteros positivos. Demuestra que: 1. No existe una solución $(a, b, c)$ para $n = 2017$. 2. Para $n = 2016$, $a$ es divisible por $3$ para todas las soluciones $(a, b, c)$. 3. Hay infinitas soluciones $(a, b, c)$ para $n = 2016$.

1 Todo entero positivo está marcado con un número del conjunto $\{ 0,1,2\}$ , según la siguiente regla: $$\text{si un entero positivo }k\text{ está marcado con }j,\text{ entonces el entero }k+j\text{ está marcado con }0.$$ Sea $S$ la suma de las marcas de los primeros $2019$ enteros positivos. Determina el máximo valor posible de $S$ . Propuesto por Ivan Novak ThE-dArK-lOrD

2 Sea $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ una sucesión definida recursivamente tal que $x_1=\sqrt{2}$ y $$x_{n+1}=x_n+\frac{1}{x_n}\text{ para }n\in \mathbb{N}.$$ Demuestra que se cumple la siguiente desigualdad: $$\frac{x_1^2}{2x_1x_2-1}+\frac{x_2^2}{2x_2x_3-1}+\dotsc +\frac{x_{2018}^2}{2x_{2018}x_{2019}-1}+\frac{x_{2019}^2}{2x_{2019}x_{2020}-1}>\frac{2019^2}{x_{2019}^2+\frac{1}{x_{2019}^2}}.$$ Propuesto por Ivan Novak ThE-dArK-lOrD

3 Sea $ABC$ un triángulo con circunferencia circunscrita $\omega$. Sean $l_B$ y $l_C$ dos rectas que pasan por los puntos $B$ y $C$, respectivamente, tales que $l_B \parallel l_C$. Las segundas intersecciones de $l_B$ y $l_C$ con $\omega$ son $D$ y $E$, respectivamente. Supón que $D$ y $E$ están en el mismo lado de $BC$ que $A$. Sea $DA$ que intersecta a $l_C$ en $F$ y sea $EA$ que intersecta a $l_B$ en $G$. Si $O$, $O_1$ y $O_2$ son los circuncentros de los triángulos $ABC$, $ADG$ y $AEF$, respectivamente, y $P$ es el circuncentro del triángulo $OO_1O_2$, demuestra que $l_B \parallel OP \parallel l_C$. Propuesto por Stefan Lozanovski, Macedonia.

Sea \( u \) un número racional positivo y \( m \) un entero positivo. Define una sucesión \( q_1,q_2,q_3,\dotsc \) tal que \( q_1=u \) y para \( n\geqslant 2 \): $$\text{si }q_{n-1}=\frac{a}{b}\text{ para algunos enteros positivos primos relativos }a\text{ y }b, \text{ entonces }q_n=\frac{a+mb}{b+1}.$$ Determina todos los enteros positivos \( m \) tales que la sucesión \( q_1,q_2,q_3,\dotsc \) es eventualmente periódica para cualquier número racional positivo \( u \). Observación: Una sucesión \( x_1,x_2,x_3,\dotsc \) es eventualmente periódica si existen enteros positivos \( c \) y \( t \) tales que \( x_n=x_{n+t} \) para todo \( n\geqslant c \). Propuesto por Petar Nizié-Nikolac ThE-dArK-lOrD