65 Un tetraedro está inscrito en una esfera de radio $1$ de modo que el centro de la esfera está dentro del tetraedro. Demuestre que la suma de las longitudes de todas las aristas del tetraedro es mayor que 6.

66 Sean $1=d_1<d_2<....<d_k=n$ todos los divisores distintos del entero positivo n escritos en orden ascendente. Determine todos los n tales que: \[d_6^{2} +d_7^{2} - 1=n\] Valentin

67 Con las medianas de un triángulo acutángulo se construye otro triángulo. Si $R$ y $R_m$ son los radios de los círculos circunscritos al primer y al segundo triángulo, respectivamente, demuestre que \[R_m>\frac{5}{6}R\]

68 En el idioma marciano toda sucesión finita de letras del alfabeto latino es una palabra. La editorial «Martian Words» hace una colección de todas las palabras en muchos volúmenes. En el primer volumen solo hay palabras de una letra, en el segundo, palabras de dos letras, etc., y la numeración de las palabras en cada uno de los volúmenes continúa la numeración del volumen anterior. Halle la palabra cuya numeración es igual a la suma de las numeraciones de las palabras Prague, Olympiad, Mathematics.

1 Sea $ABC$ un triángulo con bisectrices $AA_1,BB_1, CC_1$ ( $A_1 \in BC$ , etc.) y $M$ su punto común. Considérense los triángulos $MB_1A, MC_1A,MC_1B,MA_1B,MA_1C,MB_1C$ , y sus círculos inscritos. Demuestre que si cuatro de estos seis círculos inscritos tienen radios iguales, entonces $AB = BC = CA.$ Amir

2 Sea $P$ un conjunto de $n$ puntos y $S$ un conjunto de $l$ segmentos. Se sabe que: $(i)$ Ningún cuatro puntos de $P$ son coplanares. $(ii)$ Todo segmento de $S$ tiene sus extremos en $P$ . $(iii)$ Hay un punto, digamos $g$ , en $P$ que es extremo de un número máximo de segmentos de $S$ y que no es vértice de un tetraedro que tenga todas sus aristas en $S$ . Demuestre que $l \leq \frac{n^2}{3}$

3 Sea $a_0, a_1, \ldots, a_n, a_{n+1}$ una sucesión de números reales que satisface las siguientes condiciones: \[a_0 = a_{n+1 }= 0,\] \[ |a_{k-1} - 2a_k + a_{k+1}| \leq 1 \quad (k = 1, 2,\ldots , n).\] Demuestre que $|a_k| \leq \frac{k(n+1-k)}{2} \quad (k = 0, 1,\ldots ,n + 1).$ Amir

4 Halle todos los pares de números naturales $(m, n)$ para los cuales $2^m3^n +1$ es el cuadrado de algún entero.

5 Sea $ABCDS$ una pirámide con cuatro caras y con $ABCD$ como base, y sea un plano $\alpha$ que pasa por el vértice $A$ y corta a sus aristas $SB$ y $SD$ en los puntos $M$ y $N$ , respectivamente. Demuestre que si la intersección del plano $\alpha$ con la pirámide $ABCDS$ es un paralelogramo, entonces $SM \cdot SN > BM \cdot DN$ .

6 Para cada punto $X$ de un politopo dado, denótese por $f(X)$ la suma de las distancias del punto $X$ a todos los planos de las caras del politopo. Demuestre que si $f$ alcanza su máximo en un punto interior del politopo, entonces $f$ es constante.