Hay dos secuencias de letras $A$ y $B$ , ambas de longitud $100$ letras. En un movimiento se puede insertar en cualquier lugar de la secuencia (posiblemente al principio o al final) cualquier número de letras iguales o eliminar cualquier número de letras iguales consecutivas. Demuestre que es posible obtener la segunda secuencia a partir de la primera usando no más de $100$ movimientos.

El perímetro del triángulo $ABC$ es $1$ . El círculo $\omega$ toca al lado $BC$ , a la prolongación del lado $AB$ en $P$ y a la prolongación del lado $AC$ en $Q$ . La recta que pasa por los puntos medios de $AB$ y $AC$ interseca a la circunferencia circunscrita de $APQ$ en $X$ e $Y$ . Halle la longitud de $XY$ .

$P(x)$ es un polinomio de grado $n>5$ con coeficientes enteros que tiene $n$ raíces enteras distintas. Demuestre que $P(x)+3$ tiene $n$ raíces reales distintas.

Un polígono regular de $100$ lados fue cortado en varios paralelogramos y dos triángulos. Demuestre que estos triángulos son congruentes.

Dado un entero $h > 1$ . Llamemos buena a una fracción común positiva (no necesariamente irreducible) si la suma de su numerador y su denominador es igual a $h$ . Digamos que un número $h$ es notable si toda fracción común positiva cuyo denominador es menor que $h$ puede expresarse en términos de fracciones buenas (no necesariamente distintas) usando las operaciones de suma y resta. Demuestre que $h$ es notable si y solo si es primo. (Recuerde que una fracción común tiene un numerador entero y un denominador natural.)

Los puntos medios de todas las alturas de cierto tetraedro se encuentran sobre su esfera inscrita. ¿Es entonces necesariamente regular este tetraedro?

Camaleones de cinco colores viven en la isla. Cuando un camaleón muerde a otro, el color del camaleón mordido cambia a uno de estos cinco colores de acuerdo con alguna regla, y el nuevo color depende solo del color del mordido y del color del que muerde. Se sabe que $2023$ camaleones rojos pueden ponerse de acuerdo en una secuencia de mordidas entre ellos, después de la cual todos se volverán azules. ¿Cuál es el menor $k$ que puede garantizar que $k$ camaleones rojos, mordiéndose solo entre ellos, puedan volverse azules? (Por ejemplo, las reglas podrían ser: si un camaleón rojo muerde a uno verde, el mordido cambia de color a azul; si uno verde muerde a uno rojo, el mordido permanece rojo, es decir, "cambia de color a rojo"; si rojo muerde a rojo, el mordido cambia de color a amarillo, etc. Las reglas para cambiar de color pueden ser diferentes.)

Un triángulo rectángulo tiene un ángulo igual a $30^\circ.$ Demuestre que una de las bisectrices del triángulo es dos veces más corta que otra. Egor Bakaev

Hay una bacteria en una de las casillas de un tablero cuadriculado $10 \times 10{}$ . En el primer movimiento, la bacteria se desplaza a una casilla adyacente por un lado a la original, y se divide en dos bacterias (ambas permanecen en la misma casilla). Luego nuevamente, una de las bacterias del tablero se desplaza a una casilla adyacente por un lado y se divide en dos bacterias, y así sucesivamente. ¿Es posible que después de cierto número de tales movimientos el número de bacterias en cada casilla del tablero sea el mismo? Alexandr Gribalko

Llamemos peatonal a un entero positivo si todos sus dígitos decimales son iguales a 0 o 1. Suponga que el producto de dos enteros peatonales también es peatonal. ¿Es necesario en este caso que la suma de los dígitos del producto sea igual al producto de las sumas de los dígitos de los factores? Viktor Kleptsyn, Konstantin Knop