5 En la tabla https://services.artofproblemsolving.com/download.php?id=YXR0YWNobWVudHMvZC9hLzBjNjFlZWFjM2ZlOTQzMTk2YTdkMzQ2MjJiYzYyMWFlN2Y0ZGZlLnBuZw==&rn=dGFibGljYWEucG5n están marcados $10$ números, exactamente uno en cada fila y cada columna. Demuestre que entre ellos hay al menos dos iguales

1 Si $a>b>c$ son números reales, demuestre que $$\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}>\frac{2}{a-c}$$

2 Halle el conjunto de enteros positivos divisibles por $8$ cuya suma de dígitos es $7$ y cuyo producto es $6$

3 En el trapecio $ABCD$ se cumple $AD \mid \mid BC$, $\angle ABC = 30^{\circ}$, $\angle BCD = 60^{\circ}$ y $BC=7$. Sean $E$, $M$, $F$ y $N$ los puntos medios de los lados $AB$, $BC$, $CD$ y $DA$, respectivamente. Si $MN=3$, halle $EF$

4 En el conjunto de los enteros positivos, resuelva la ecuación $$x^3+x^2y+xy^2+y^3=8(x^2+xy+y^2+1)$$

5 $605$ esferas del mismo radio se dividen en dos partes. Con una parte se forma una «pirámide» recta de base cuadrada. Con la otra parte se forma una «pirámide» recta de base triangular equilátera. Ambas «pirámides» están formadas por el mismo número de filas de esferas. Halle el número de esferas de cada «pirámide»

1 Halle dos ángulos que sumen $180^{\circ}$ y cuya diferencia sea $1^{'}$

2 Un día, los estudiantes de una escuela organizaron un intercambio entre ellos tal que: $11$ fresas se cambian por $14$ frambuesas, $22$ cerezas se cambian por $21$ frambuesas, $10$ cerezas se cambian por $3$ plátanos y $5$ peras por $2$ plátanos. ¿Cuántas peras debe dar Amila para obtener $7$ fresas?

3 Sea $AD$ una mediana de $ABC$ y $S$ su punto medio. Sea $E$ el punto de intersección de $AB$ y $CS$. Demuestre que $BE=2AE$

4 ¿Qué número debemos restar del numerador y sumar al denominador de $\frac{\overline{28a3}}{7276}$ para obtener una fracción igual a $\frac{2}{7}$?