4 Se dan un entero positivo $n\geq 2$ y números reales positivos $a_1, a_2, \ldots, a_n$ con suma igual a $1$ . Sea $b = a_1 + 2a_2 + \ldots + n a_n$ . Demuestre que $$\sum_{1\leq i < j \leq n} (i-j)^2 a_i a_j \leq (n-b)(b-1).$$

5 Dado un número primo $p>2023$ . Sea $r(x)$ el resto de $x$ módulo $p$ . Sean $p_1<p_2< \ldots <p_m$ todos los números primos menores que $\sqrt[4]{\frac{1}{2}p}$ . Sean $q_1, q_2, \ldots, q_n$ los inversos módulo $p$ de $p_1, p_2, \ldots p_n$ . Demuestre que para cualesquiera enteros $0 < a,b < p$ , los conjuntos $$\{r(q_1), r(q_2), \ldots, r(q_m)\}, ~~ \{r(aq_1+b), r(aq_2+b), \ldots, r(aq_m+b)\}$$ tienen a lo sumo $3$ elementos comunes.

6 Para cualesquiera números reales $a$ y $b>0$ , defina la extensión de un intervalo $[a-b,a+b] \subseteq \mathbb{R}$ como $[a-2b, a+2b]$ . Decimos que $P_1, P_2, \ldots, P_k$ cubre el conjunto $X$ si $X \subseteq P_1 \cup P_2 \cup \ldots \cup P_k$ . Demuestre que existe un entero $M$ con la siguiente propiedad: para todo subconjunto finito $A \subseteq \mathbb{R}$ , existe un subconjunto $B \subseteq A$ con a lo sumo $M$ números, tal que para cualesquiera $100$ intervalos cerrados que cubran $B$ , sus extensiones cubren $A$ .

1 Halle todos los $c\in \mathbb{R}$ tales que exista una función $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ que satisfaga $$(f(x)+1)(f(y)+1)=f(x+y)+f(xy+c)$$ para todo $x,y\in \mathbb{R}$ . Propuesto por Kaan Bilge

2 Sea $ABC$ un triángulo. Un punto $D$ yace sobre la recta $BC$ y los puntos $E,F$ se toman sobre $AC,AB$ tales que $DE \parallel AB$ y $DF\parallel AC$ . Sean $G = (AEF) \cap (ABC) \neq A$ e $I = (DEF) \cap BC\neq D$ . Sean $H$ y $O$ el ortocentro y el circuncentro del triángulo $DEF$ . Demuestre que $A,O,I$ son colineales si y solo si $G,H,I$ son colineales. Propuesto por Kaan Bilge

3 Halle todos los polinomios $P$ con coeficientes enteros tales que $$s(x)=s(y) \implies s(|P(x)|)=s(|P(y)|).$$ para todo $x,y\in \mathbb{N}$ . Nota: $s(x)$ denota la suma de los dígitos de $x$ . Propuesto por Şevket Onur YILMAZ

4 Halle todas las funciones $f: \mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ tales que para todos los enteros $x$ e $y$ , el número $$f(x)^2+2xf(y)+y^2$$ sea un cuadrado perfecto. Propuesto por Barış Koyuncu

5 Hay $10$ vasos, cada uno con $10$ piedrecitas en su interior. Dos jugadores $A$ y $B$ juegan un juego, repitiendo lo siguiente en orden en cada movimiento: $\bullet$ $B$ toma una piedrecita de cada vaso y las redistribuye como $A$ desee. $\bullet$ Después de que $B$ distribuye las piedrecitas, le dice a $A$ cuántas piedrecitas hay en cada vaso. Luego $B$ destruye todos los vasos que no tengan piedrecitas. $\bullet$ $B$ intercambia los lugares de dos vasos sin decírselo a $A$ . Después de un número finito de movimientos, $A$ puede garantizar que $n$ vasos sean destruidos. Halle el máximo valor posible de $n$ . (Nótese que $A$ no ve los vasos mientras juega.) Propuesto por Emre Osman

6 En el triángulo $ABC$ , $D$ es un punto variable sobre la recta $BC$ . Los puntos $E,F$ se encuentran en los segmentos $AC, AB$ respectivamente, tales que $BF=BD$ y $CD=CE$ . Las circunferencias $(AEF)$ y $(ABC)$ se cortan nuevamente en $S$ . Las rectas $EF$ y $BC$ se cortan en $P$ y las circunferencias $(PDS)$ y $(AEF)$ se cortan nuevamente en $Q$ . Demuestre que, cuando $D$ varía, el conjugado isogonal de $Q$ con respecto al triángulo $ ABC$ se encuentra sobre una circunferencia fija. Propuesto por Serdar Bozdag

9 Para todo entero $m\ge 1$ , sea $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ el conjunto de los enteros módulo $m$ . Sea $p$ un primo fijo y sean $a\ge 2$ y $e\ge 1$ enteros fijos. Dada una función $f\colon \mathbb{Z}/a\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/p^e\mathbb{Z}$ y un entero $k\ge 0$ , la $k$ -ésima diferencia finita , denotada $\Delta^k f$ , es la función de $\mathbb{Z}/a\mathbb{Z}$ a $\mathbb{Z}/p^e\mathbb{Z}$ definida recursivamente por \begin{align*} \Delta^0 f(n)&=f(n)\\ \Delta^k f(n)&=\Delta^{k-1}f(n+1)-\Delta^{k-1}f(n) & \text{for } k=1,2,\dots. \end{align*} Determine el número de funciones $f$ para las cuales existe algún $k\ge 1$ con $\Delta^kf=f$ . Holden Mui