2 Supón que en el exterior de un cuadrilátero convexo \(ABCD\) se construyen triángulos equiláteros \(XAB, YBC, ZCD, WDA\) con centroides \(S_1, S_2, S_3, S_4\) respectivamente. Demuestra que \(S_1S_3 \perp S_2S_4\) si y solo si \(AC = BD\).

3 Sean $c_1,c_2,\ldots ,c_n,b_1,b_2,\ldots ,b_n$ $(n\geq 2)$ números reales positivos. Demuestra que la ecuación \[ \sum_{i=1}^nc_i\sqrt{x_i-b_i}=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^nx_i\] tiene una solución única $(x_1,\ldots ,x_n)$ si y solo si $\sum_{i=1}^nc_i^2=\sum_{i=1}^nb_i$ .

4 Sean $P,Q,R,S$ los puntos medios de los lados $BC,CD,DA,AB$ de un cuadrilátero convexo, respectivamente. Demuestra que \[4(AP^2+BQ^2+CR^2+DS^2)\le 5(AB^2+BC^2+CD^2+DA^2)\]

3 A Arash se le da un triángulo rectángulo isósceles de papel. Un doblez de este papel se llama bueno si el polígono obtenido después de este doblez tiene todos sus ángulos menores que $180^\circ$. Arash realiza un doblez bueno. Babak toma el papel y realiza dos dobleces buenos, de modo que al final el papel queda doblado exactamente tres veces. Arash quiere que el polígono final tenga el mayor número posible de lados, pero Babak quiere lo contrario. Suponiendo que ambos hacen su mejor jugada, ¿cuántos lados tiene el polígono final? Propuesto por Arvin Taheri - Irán

4. Se sabe que toda diagonal de un cuadrilátero convexo es más larga que cada uno de sus lados. Demuestra que la longitud de cada diagonal es menor que $\sqrt{3}$ veces la longitud de uno de los lados. Propuesto por Morteza Saghafian - Irán

C1 Sea $S$ el conjunto de aristas de una cuadrícula rectangular de $m \times n$ . ¿Cuál es el menor número de rectángulos tal que la unión de sus perímetros sea $S$ ? Benny Wang

2 Se da un triángulo equilátero $ABC$. Los puntos $O_{1}, O_{2}$ están en los lados $AB,AC$ respectivamente. Se sabe que el círculo con centro en $O_{1}$ y que pasa por $B$ es tangente externamente al círculo con centro en $O_{2}$ y que pasa por $C$ en un punto $P$ dentro del triángulo. Encuentra el ángulo $\angle{BPC}$. Propuesto por Davood Vakili - Irán

5 En el triángulo \(ABC\) con \(\angle{CAB} = 15^\circ\) y \(\angle{CBA} = 30^\circ\), los puntos \(X\) e \(Y\) están dentro del ángulo \(\angle{BCA}\) tales que \(\angle{BCX}=\angle{ACY}=45^\circ\) y \(BC=CY\), \(AC=CX\). Sea la recta \(XY\) que corta a \(AB\) en el punto \(Z\). Demuestra que \(AZ=BC\). Propuesto por Mahdi Etesamifard - Irán

3. Dado el triángulo \(ABC\) y su circuncírculo \(\omega\). El punto \(T\) es el punto medio del arco \(BC\) de la circunferencia \(\omega\) (el arco que no incluye a \(A\)). La recta \(BT\) interseca a la bisectriz externa del ángulo \(BAC\) en el punto \(P\). \(H\) es el pie de la perpendicular trazada desde \(A\) sobre la recta tangente a \(\omega\) en \(T\), y \(M\) es el punto medio del segmento \(AP\). Demuestra que \(\angle{AHM}=\angle{ACP}\). Propuesto por Iman Maghsoudi - Irán

4 En el hexágono convexo $ABCYXD$ tenemos $$\angle{ACY}=\angle{BDX}=90^\circ$$ $$\angle{BAC}=2\angle{CAY}, \angle{ABD}=2\angle{DBX}$$ $$XY=DX+CY$$ Demuestra que $$\sqrt{(CD-DX)(CD-CY)} \le \frac{AC+BD-AB}{2}$$ Propuesto por Iman Maghsoudi - Irán