Sea $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ una matriz tal que $(AA^*)^2=A^*A$ , donde $A^*=(\bar{A})^t$ denota la transpuesta hermitiana (es decir, la transpuesta conjugada) de $A$ . (a) Demuestre que $AA^*=A^*A$ . (b) Muestre que los valores propios no nulos de $A$ tienen módulo uno.

Para $p \in \mathbb{R}$ , sea $(a_n)_{n \ge 1}$ la sucesión definida por \[ a_n=\frac{1}{n^p} \int_0^n |\sin( \pi x)|^x \mathrm dx. \] Determine todos los valores posibles de $p$ para los cuales la serie $\sum_{n=1}^\infty a_n$ converge.

Sea $(x_n)_{n\geq 1}$ la sucesión definida por $x_1\in (0,1)$ y $x_{n+1}=x_n-\frac{x_n^2}{\sqrt{n}}$ para todo $n\geq 1$ . Halle los valores de $\alpha\in\mathbb{R}$ para los cuales la serie $\sum_{n=1}^{\infty}x_n^{\alpha}$ es convergente.

Sean $A,B\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ dos matrices reales simétricas con valores propios no negativos. Demuestre que $A^3+B^3=(A+B)^3$ si y solo si $AB=O_n$ .

Para todo $n\geq 1$ defina $x_n$ mediante $$x_n=\int_0^1 \ln(1+x+x^2+\dots +x^n)\cdot\ln\frac{1}{1-x}\mathrm dx.$$ a) Muestre que $x_n$ es finito para todo $n\geq 1$ y $\lim_{n\rightarrow\infty}x_n=2$ . b) Calcule $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{\ln n}(2-x_n)$ .

Sea $n\in\mathbb{N}$ , $n\geq 2$ . Halle todos los valores de $k\in\mathbb{N}$ , $k\geq 1$ , para los cuales se cumple el siguiente enunciado: $$\text{"If }A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C})\text{ is such that }A^kA^*=A\text{, then }A=A^*\text{."}$$ (aquí, $A^*$ denota la transpuesta conjugada de $A$ ) .

Sea $A$ una matriz $n\times n$ con elementos estrictamente positivos y dos vectores $u,v\in\mathbb{R}^n$ , también con elementos estrictamente positivos, tales que $$Au=v\text{ and }Av=u.$$ Demuestre que $u=v$ .

Calcule $$\lim_{n\rightarrow\infty}n\int_0^{\infty} e^{-x}\sqrt[n]{e^x - 1 -\frac{x}{1!} - \frac{x^2}{2!} - \dots -\frac{x^n}{n!}}\,dx.$$

Sea $A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ tal que $A^*A^2 = AA^*$ . Demuestre que $A^2=A$ . (Aquí denotamos por $A^*$ la transpuesta conjugada de $A$ . )

Sea $(a_n)_{n\geq 1}$ una sucesión monótona decreciente de números reales que converge a $0$ . Demuestre que $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n}$ es convergente si y solo si la sucesión $(a_n\ln n)_{n\geq 1}$ está acotada y $\sum_{n=1}^{\infty} (a_n-a_{n+1})\ln n$ es convergente.