Dado un cuadrilátero cíclico convexo $ABCD$. Los rayos $AB$ y $DC$ se encuentran en $X$. Los rayos $AD$ y $BC$ se encuentran en $Y$. Sean $I, J$ los incentros de $BCX$ y $CDY$ respectivamente. Las circunferencias circunscritas de $BCX$ y $CDY$ se vuelven a encontrar en $Z \ne C$. Supón que $CX=CY$. Demuestra que $ZI=ZJ$.

11 Una sucesión de números reales positivos $a_0, a_1, \dots, a_n$ satisface $a_k^2\geq a_{k-1}a_{k+1}$ para $1\leq k\leq n-1$. Supón que la sucesión $b_0, b_1, \dots, b_n$ es geométrica, tiene términos positivos y satisface $$\sum_{k=0}^na_k=\sum_{k=0}^nb_k\;\;\;\;\;\text{y}\;\;\;\;\;\sum_{k=0}^nka_k=\sum_{k=0}^nkb_k.$$ Demuestra que $$\sum_{k=0}^nk^2a_k\leq \sum_{k=0}^nk^2b_k.$$

12 Si $X, Y$ son subconjuntos de $\mathbb{Z}$, denotaremos por $X+Y$ al conjunto de todos los números de la forma $x+y$ donde $x\in X$ y $y\in Y$. En particular, $X+Y+Z=(X+Y)+Z$. Se dan subconjuntos no vacíos y finitos $A, B, C$ de $\mathbb{Z}$. Demuestra que $$2|A+B+C|+1\geq |A+B|+|B+C|+|C+A|.$$

Encuentra todas las funciones \(f\colon \mathbb{R}^+\times \mathbb{R}^+\to \mathbb{R}^+\) tales que, para todo \(x,y,z,t>0\), se cumple \[f(x+y, z+t)\leq f(z,x)+f(t,y)\] y \[f\left(\frac{x}{y}, \frac{y}{x}\right)(x+y-f(y,x))=f(x,y)\]

Sea $ABC$ un triángulo y $O$ su circuncentro. Sea $P$ un punto, y $P'$ el reflejo de $P$ respecto a $O$. Sean $D$, $E$ y $F$ puntos sobre $BC$, $AC$ y $AB$, respectivamente, tales que $PA\perp AD$, $PB\perp BE$ y $PC\perp CF$. Sean $D'$, $E'$ y $F'$ puntos sobre $BC$, $AC$ y $AB$, respectivamente, tales que $P'A\perp AD'$, $P'B\perp BE'$ y $P'C\perp CF'$. Supón que $D$, $E$ y $F$ son colineales. Demuestra que $D'$, $E'$ y $F'$ también son colineales, sobre una recta paralela.

Una colección $T$ de ternas no ordenadas de enteros entre $1$ y $n$ se llamará $n$-Coolkowski si, para toda elección de puntos $P, X_1, X_2, \dots, X_n$ en el plano tales que existe $1\leq i,j,k\leq n$ de modo que el triángulo $X_iX_jX_k$ contiene a $P$, también existe $\{i',j',k'\}\in T$ tal que el triángulo $X_{i'}X_{j'}X_{k'}$ contiene a $P$. Una colección $n$-Coolkowski de ternas se llamará minimal si no contiene ninguna colección $n$-Coolkowski propia. a) ¿Existe un $c>\frac{1}{2}$ tal que, para todo $n$ suficientemente grande, exista una colección $n$-Coolkowski minimal $T$ con $|T|\geq cn^2$? b) ¿Existe un $c<\frac{1}{2}$ tal que, para todo $n$ suficientemente grande, exista una colección $n$-Coolkowski minimal $T$ con $|T|\leq cn^2$? Un triángulo contiene su perímetro.

En los lados del triángulo \(\triangle ABC\) se encuentran los siguientes puntos: \(K\) y \(L\) sobre \(AB\), \(M\) sobre \(BC\), y \(N\) sobre \(CA\). Sean \[ P = AM\cap BN,\quad R = KM\cap LN,\quad S = KN\cap LM, \] y sea la recta \(CS\) la que corta a \(AB\) en \(Q\). Demuestra que los puntos \(P\), \(Q\) y \(R\) son colineales.

3 El cuadrilátero convexo $ABCD$ tiene $\angle ABC = \angle CDA = 90^{\circ}$ . El punto $H$ es el pie de la perpendicular desde $A$ a $BD$ . Los puntos $S$ y $T$ yacen sobre los lados $AB$ y $AD$ , respectivamente, de modo que $H$ yace en el interior del triángulo $SCT$ y \[ \angle CHS - \angle CSB = 90^{\circ}, \quad \angle THC - \angle DTC = 90^{\circ}. \] Demuestre que la recta $BD$ es tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $TSH$ .

3. Tenemos un tablero de $n \times n$ . Coloreamos el cuadrado unitario $(i,j)$ de negro si $i=j$ , de rojo si $i<j$ y de verde si $i>j$ . Sea $a_{i,j}$ el color del cuadrado unitario $(i,j)$ . En cada movimiento intercambiamos dos filas y escribimos la $n$ - tupla $(a_{1,1},a_{2,2},\cdots,a_{n,n})$ . ¿Cuántas $n$ - tuplas podemos obtener repitiendo este proceso? (nótese que el orden de los números es importante) Parsia--

2 Un dominó es una ficha de $2 \times 1$ o $1 \times 2$. Determina de cuántas maneras se pueden colocar exactamente $n^2$ dominós sin superponerse en un tablero de ajedrez de $2n \times 2n$ de modo que cada cuadrado de $2 \times 2$ contenga al menos dos casillas unitarias descubiertas que estén en la misma fila o columna.