10 Llama a una permutación $a_1,a_2,\ldots,a_n$ casi-creciente si $a_k\le a_{k+1}+2$ para cada $1\le k\le n-1$. Por ejemplo, $54321$ y $14253$ son permutaciones casi-crecientes de los enteros $1,2,3,4,5$, pero $45123$ no lo es. Encuentra el número de permutaciones casi-crecientes de los enteros $1,2,\ldots,7$.

11 La circunferencia circunscrita del triángulo agudo $\triangle ABC$ tiene centro $O$. La recta que pasa por el punto $O$ perpendicular a $\overline{OB}$ interseca a las rectas $AB$ y $BC$ en $P$ y $Q$, respectivamente. Además, $AB=5$, $BC=4$, $BQ=4.5$, y $BP=\frac{m}{n}$, donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos relativos. Encuentra $m+n$.

Considera todos los subconjuntos de 1000 elementos del conjunto $\{1,2,3,\dots,2015\}$. De cada uno de estos subconjuntos se elige el elemento más pequeño. La media aritmética de todos estos elementos más pequeños es $\tfrac{p}{q}$, donde $p$ y $q$ son enteros positivos primos relativos. Encuentra $p+q$.

13 Define la sucesión $a_1,a_2,a_3,\ldots$ por $a_n=\sum_{k=1}^n\sin(k)$, donde $k$ representa la medida en radianes. Encuentra el índice del término número 100 para el cual $a_n<0$.

15 Un bloque de madera tiene la forma de un cilindro circular recto con radio $6$ y altura $8$, y toda su superficie ha sido pintada de azul. Los puntos $A$ y $B$ se eligen en el borde de una de las caras circulares del cilindro de modo que $\overarc{AB}$ en esa cara mide $120^\circ$. Luego, el bloque se corta por la mitad a lo largo del plano que pasa por el punto $A$, el punto $B$ y el centro del cilindro, revelando una cara plana sin pintar en cada mitad. El área de una de esas caras sin pintar es $a\cdot\pi + b\sqrt{c}$, donde $a$, $b$ y $c$ son enteros y $c$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Encuentra $a+b+c$.

1 Resuelva en reales positivos el sistema: $x+y+z+w=4$ $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{w}=5-\frac{1}{xyzw}$

1 Los 8 ojales para el cordón de un tenis están todos sobre un rectángulo, cuatro igualmente espaciados en cada uno de los lados más largos. El rectángulo tiene un ancho de $50$ mm y un largo de $80$ mm. Hay un ojal en cada vértice del rectángulo. El cordón mismo debe pasar entre los ojales de los vértices a lo largo de un lado del ancho del rectángulo y luego cruzarse entre ojales sucesivos hasta llegar a los dos ojales en el otro lado del ancho del rectángulo como se muestra. Después de pasar por estos ojales finales, cada uno de los extremos del cordón debe extenderse al menos $200$ mm más para permitir que se haga un nudo. Encuentra la longitud mínima del cordón en milímetros. [asy] size(200); defaultpen(linewidth(0.7)); path laceL=(-20,-30)..tension 0.75 ..(-90,-135)..(-102,-147)..(-152,-150)..tension 2 ..(-155,-140)..(-135,-40)..(-50,-4)..tension 0.8 ..origin; path laceR=reflect((75,0),(75,-240))*laceL; draw(origin--(0,-240)--(150,-240)--(150,0)--cycle,gray); for(int i=0;i<=3;i=i+1) { path circ1=circle((0,-80*i),5),circ2=circle((150,-80*i),5); unfill(circ1); draw(circ1); unfill(circ2); draw(circ2); } draw(laceL--(150,-80)--(0,-160)--(150,-240)--(0,-240)--(150,-160)--(0,-80)--(150,0)^^laceR,linewidth(1));[/asy]

2 Arnold está estudiando la prevalencia de tres factores de riesgo para la salud, denotados por A, B y C, dentro de una población de hombres. Para cada uno de los tres factores, la probabilidad de que un hombre seleccionado al azar en la población tenga solo este factor de riesgo (y ninguno de los otros) es 0.1. Para cualesquiera dos de los tres factores, la probabilidad de que un hombre seleccionado al azar tenga exactamente dos de estos dos factores de riesgo (pero no el tercero) es 0.14. La probabilidad de que un hombre seleccionado al azar tenga los tres factores de riesgo, dado que tiene A y B es $\tfrac{1}{3}$ . La probabilidad de que un hombre no tenga ninguno de los tres factores de riesgo dado que no tiene el factor de riesgo A es $\tfrac{p}{q}$ , donde $p$ y $q$ son enteros positivos primos relativos. Encuentra $p+q$ .

3 Un rectángulo tiene lados de longitud $a$ y $36$. Se instala una bisagra en cada vértice del rectángulo y en el punto medio de cada lado de longitud $36$. Los lados de longitud $a$ pueden presionarse uno hacia el otro manteniendo esos dos lados paralelos, de modo que el rectángulo se convierte en un hexágono convexo como se muestra. Cuando la figura es un hexágono con los lados de longitud $a$ paralelos y separados por una distancia de $24$, el hexágono tiene la misma área que el rectángulo original. Encuentra $a^2$. [asy] pair A,B,C,D,E,F,R,S,T,X,Y,Z; dotfactor = 2; unitsize(.1cm); A = (0,0); B = (0,18); C = (0,36); // no mires aquí D = (12*2.236, 36); E = (12*2.236, 18); F = (12*2.236, 0); draw(A--B--C--D--E--F--cycle); dot(" ",A,NW); dot(" ",B,NW); dot(" ",C,NW); dot(" ",D,NW); dot(" ",E,NW); dot(" ",F,NW); //no mires aquí R = (12*2.236 +22,0); S = (12*2.236 + 22 - 13.4164,12); T = (12*2.236 + 22,24); X = (12*4.472+ 22,24); Y = (12*4.472+ 22 + 13.4164,12); Z = (12*4.472+ 22,0); draw(R--S--T--X--Y--Z--cycle); dot(" ",R,NW); dot(" ",S,NW); dot(" ",T,NW); dot(" ",X,NW); dot(" ",Y,NW); dot(" ",Z,NW); // sqrt180 = 13.4164 // sqrt5 = 2.236 [/asy]

4 Jon y Steve montan sus bicicletas por un sendero que corre paralelo a dos vías de tren lado a lado, en dirección este/oeste. Jon va hacia el este a 20 millas por hora, y Steve va hacia el oeste a 20 millas por hora. Dos trenes de igual longitud viajan en direcciones opuestas a velocidades constantes pero diferentes, y cada uno pasa a los dos ciclistas. Cada tren tarda exactamente 1 minuto en pasar a Jon. El tren que va hacia el oeste tarda 10 veces más que el tren que va hacia el este en pasar a Steve. La longitud de cada tren es $\tfrac mn$, donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos relativos. Encuentra $m+n$.