G5 Sea \(ABC\) un triángulo acutángulo con circunferencia circunscrita \(\omega\) . Sea \(P\) un punto variable en el arco \(BC\) de \(\omega\) que no contiene a \(A\) . Se construyen los cuadrados \(BPDE\) y \(PCFG\) tales que \(A\) , \(D\) , \(E\) se encuentran en el mismo lado de la recta \(BP\) y \(A\) , \(F\) , \(G\) se encuentran en el mismo lado de la recta \(CP\) . Sea \(H\) la intersección de las rectas \(DE\) y \(FG\) . Demuestre que al variar \(P\) , \(H\) se encuentra sobre un círculo fijo. Propuesto por Karthik Vedula

G6 Sea \(ABCDEF\) un hexágono convexo cíclico tal que el cuadrilátero \(ABDF\) es un cuadrado, y el incentro de \(\triangle ACE\) se encuentra sobre \(\overline{BF}\) . La diagonal \(CE\) interseca las diagonales \(BD\) y \(DF\) en los puntos \(P\) y \(Q\) , respectivamente. Demuestre que la circunferencia circunscrita de \(\triangle DPQ\) es tangente a \(\overline{BF}\) . Propuesto por Elliott Liu

G7 Sea \(\mathcal E\) una elipse con focos \(F_1\) y \(F_2\) , y sea \(P\) un punto en \(\mathcal E\) . Suponga que las rectas \(PF_1\) y \(PF_2\) intersecan a \(\mathcal E\) de nuevo en los puntos distintos \(A\) y \(B\) , y que las tangentes a \(\mathcal E\) en \(A\) y \(B\) se intersecan en el punto \(Q\) . Demuestre que el punto medio de \(\overline{PQ}\) se encuentra en la circunferencia circunscrita de \(\triangle PF_1F_2\) . Propuesto por Karthik Vedula

G8 Los cuadriláteros convexos \(ABCD\) , \(A_1B_1C_1D_1\) y \(A_2B_2C_2D_2\) son semejantes con los vértices en orden. Los puntos \(A\) , \(A_1\) , \(B_2\) , \(B\) son colineales en ese orden, los puntos \(B\) , \(B_1\) , \(C_2\) , \(C\) son colineales en ese orden, los puntos \(C\) , \(C_1\) , \(D_2\) , \(D\) son colineales en ese orden, y los puntos \(D\) , \(D_1\) , \(A_2\) , \(A\) son colineales en ese orden. Las diagonales \(AC\) y \(BD\) se intersecan en \(P\) , las diagonales \(A_1C_1\) y \(B_1D_1\) se intersecan en \(P_1\) , y las diagonales \(A_2C_2\) y \(B_2D_2\) se intersecan en \(P_2\) . Demuestre que los puntos \(P\) , \(P_1\) y \(P_2\) son colineales. Propuesto por Holden Mui

N1 Sea \(m\) un entero positivo. Halle, en términos de \(m\) , todos los polinomios \(P(x)\) con coeficientes enteros tales que para todo entero \(n\) , exista un entero \(k\) tal que \(P(k)=n^m\) . Propuesto por Raymond Feng

N2 Determine el mayor entero positivo \(n\) para el cual existe una sucesión de enteros positivos distintos \(s_1\) , \(s_2\) , \(\ldots\) , \(s_n\) que satisface \[s_1^{s_2}=s_2^{s_3}=\cdots=s_{n-1}^{s_n}.\] Propuesto por Holden Mui

N3 Sean \(a\) , \(b\) y \(n\) enteros positivos. Un puesto de limonada posee \(n\) vasos, todos inicialmente vacíos. El puesto de limonada tiene una máquina llenadora y una máquina vaciadora, que operan según las siguientes reglas: si en algún momento hay \(a\) vasos completamente vacíos disponibles, la máquina llenadora emplea los siguientes \(a\) minutos en llenar esos \(a\) vasos simultáneamente y no hace nada más. Si en algún momento hay \(b\) vasos completamente llenos disponibles, la máquina vaciadora emplea los siguientes \(b\) minutos en vaciar esos \(b\) vasos simultáneamente y no hace nada más. Suponga que después de que transcurra un tiempo suficientemente largo, tanto la máquina llenadora como la máquina vaciadora trabajan sin pausas. Halle, en términos de \(a\) y \(b\) , el menor valor posible de \(n\) . Propuesto por Raymond Feng

N4 Sea \(d(n)\) el número de divisores positivos de \(n\) . La sucesión \(a_0\) , \(a_1\) , \(a_2\) , \(\ldots\) se define como sigue: \(a_0=1\) , y para todo entero \(n\ge1\) , \[a_n=d(a_{n-1})+d(d(a_{n-2}))+\cdots+ {\underbrace{d(d(\ldots d(a_0)\ldots))}_{n\text{ times}}}.\] Demuestre que para todo entero \(n\ge1\) , se tiene \(a_n\le3n\) . Propuesto por Karthik Vedula

N5 Un par ordenado \((k,n)\) de enteros positivos es bueno si existe una cuádrupla ordenada \((a,b,c,d)\) de enteros positivos tal que \(a^3+b^k=c^3+d^k\) y \(abcd=n\) . Demuestre que existen infinitos enteros positivos \(n\) tales que \((2022,n)\) no es bueno pero \((2023,n)\) es bueno. Propuesto por Luke Robitaille

A1 Sean $a$ , $b$ , $c$ reales positivos tales que $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$ . Demuestre que $$a^abc+b^bca+c^cab\ge 27bc+27ca+27ab.$$ Propuesto por Milan Haiman