3 Sea $ABC$ un triángulo con $AB>BC>CA$ . Sea $D$ un punto sobre $AB$ tal que $CD=BC$ , y sea $M$ el punto medio de $AC$ . Demuestre que $BD=AC$ y que $\angle BAC=2\angle ABM.$

1 Sea $ab$ un número de dos dígitos. Un entero positivo $n$ es un pariente de $ab$ si: la cifra de las unidades de $n$ es $b$ . Las cifras restantes de $n$ son distintas de cero y suman $a$ . Halle todos los números de dos dígitos que dividen a todos sus parientes.

2 Sea $ABC$ un triángulo rectángulo con ángulo recto en $A$ , tal que $AB < AC$ . Sea $M$ el punto medio de $BC$ y $D$ la intersección de $AC$ con la perpendicular a $BC$ que pasa por $M$ . Sea $E$ la intersección de la paralela a $AC$ que pasa por $M$ con la perpendicular a $BD$ que pasa por $B$ . Demuestre que los triángulos $AEM$ y $MCA$ son semejantes si y solo si $\angle ABC = 60^o$ .

3 Sea $n$ un entero mayor que $1$ . ¿De cuántas maneras podemos colocar todos los números $1, 2,..., 2n$ en las casillas de una cuadrícula de $2\times n$ , uno en cada casilla, de modo que cualesquiera dos números consecutivos queden en casillas que comparten un lado de la cuadrícula?

4 ¿Para qué enteros positivos $n$ se puede cubrir una escalera como la de la figura (pero con $n$ escalones en lugar de $4$ ) con $n$ cuadrados de lados enteros, no necesariamente del mismo tamaño, sin que estos cuadrados se superpongan y sin que sobresalgan del borde de la figura?

1 Sea $O$ el centro de la circunferencia circunscrita de un triángulo acutángulo $ABC$ , y sea $P$ cualquier punto del interior del segmento $BC$ . Suponga que la circunferencia circunscrita del triángulo $BPO$ interseca el segmento $AB$ en el punto $R$ y que la circunferencia circunscrita del triángulo $COP$ interseca $CA$ en el punto $Q$ . (i) Considere el triángulo $PQR$ , demuestre que es semejante al triángulo $ABC$ y que $O$ es su ortocentro. (ii) Demuestre que las circunferencias circunscritas de los triángulos $BPO$ , $COP$ , $PQR$ tienen el mismo radio.

2 Dadas varias matrices del mismo tamaño. Dado un entero positivo $N$ , digamos que una matriz es $N$ - equilibrada si las entradas de la matriz son enteros y la diferencia entre cualesquiera dos entradas adyacentes de la matriz es menor o igual que $N$ . (i) Demuestre que toda matriz $2N$ - equilibrada puede escribirse como suma de dos matrices $N$ - equilibradas. (ii) Demuestre que toda matriz $3N$ - equilibrada puede escribirse como suma de tres matrices $N$ - equilibradas.

5 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo, con alturas $AD,BE$ y $CF$ . El círculo de diámetro $AD$ interseca los lados $AB,AC$ en $M,N$ respectivamente. Sean $P,Q$ los puntos de intersección de $AD$ con $EF$ y $MN$ respectivamente. Demuestre que $Q$ es el punto medio de $PD$ .

6 Sea n la suma de las cifras de un número natural A. Se dice que el número A es «surtido» si todo número 1,2,3,4....,n puede expresarse como una suma de cifras de A. a) Demuestre que si 1,2,3,4,5,6,7,8 son sumas de cifras de A, entonces A es «surtido». b) Si 1,2,3,4,5,6,7 son sumas de cifras de A, ¿se sigue que A es «surtido»?

4 Una lista de números $a_1,a_2,\ldots,a_m$ contiene un trío aritmético $a_i, a_j, a_k$ si $i < j < k$ y $2a_j = a_i + a_k$ . Sea $n$ un entero positivo. Demuestre que los números $1, 2, 3, \ldots, n$ pueden reordenarse en una lista que no contenga tríos aritméticos.