1 Determine $ Q \in \mathbb{R}$ lo suficientemente grande como para que toda sucesión de elementos reales no negativos $ a_1 ,a_2, \ldots$ que satisfaga las dos condiciones siguientes: (i) $ \forall m,n \geq 1$ se tiene $ a_{m + n} \leq 2 \left(a_m + a_n \right)$ (ii) $ \forall k \geq 0$ se tiene $ a_{2^k} \leq \frac {1}{(k + 1)^{2008}}$ cumpla que para cada elemento de la sucesión se tiene la desigualdad $ a_n \leq Q.$

3 Un punto $ P$ en el interior del triángulo $ ABC$ satisface \[ \angle BPC - \angle BAC = \angle CPA - \angle CBA = \angle APB - \angle ACB.\] Demuestre que \[ \bar{PA} \cdot \bar{BC} = \bar{PB} \cdot \bar{AC} = \bar{PC} \cdot \bar{AB}.\]

1 La sucesión de números reales $a_0,a_1,a_2,\ldots$ está definida recursivamente por \[a_0=-1,\qquad\sum_{k=0}^n\dfrac{a_{n-k}}{k+1}=0\quad\text{for}\quad n\geq 1.\] Demuestre que $ a_{n} > 0$ para todo $ n\geq 1$ . Propuesto por Mariusz Skalba, Polonia

2 Sea $ ABCDE$ un pentágono convexo tal que \[ \angle BAC = \angle CAD = \angle DAE\qquad \text{and}\qquad \angle ABC = \angle ACD = \angle ADE. \] Las diagonales $BD$ y $CE$ se cortan en $P$ . Demuestre que la recta $AP$ biseca el lado $CD$ . Propuesto por Zuming Feng, EE. UU.

3 Para $ x \in (0, 1)$ sea $ y \in (0, 1)$ el número cuyo dígito $ n$ - ésimo después del punto decimal es el dígito $ 2^{n}$ - ésimo después del punto decimal de $ x$ . Demuestre que si $ x$ es racional entonces $ y$ también lo es. Propuesto por J.P. Grossman, Canadá

1 Una sucesión de números reales $ a_{0},\ a_{1},\ a_{2},\dots$ está definida por la fórmula \[ a_{i + 1} = \left\lfloor a_{i}\right\rfloor\cdot \left\langle a_{i}\right\rangle\qquad\text{for}\quad i\geq 0; \] aquí $a_0$ es un número real arbitrario, $\lfloor a_i\rfloor$ denota el mayor entero que no excede a $a_i$ , y $\left\langle a_i\right\rangle=a_i-\lfloor a_i\rfloor$ . Demuestre que $a_i=a_{i+2}$ para $i$ suficientemente grande. Propuesto por Harmel Nestra, Estonia

2 Sea $ ABCD$ un trapecio con lados paralelos $ AB > CD$ . Los puntos $ K$ y $ L$ están sobre los segmentos $ AB$ y $ CD$ , respectivamente, de modo que $AK/KB=DL/LC$ . Suponga que hay puntos $ P$ y $ Q$ sobre el segmento $ KL$ que satisfacen \[\angle{APB} = \angle{BCD}\qquad\text{and}\qquad \angle{CQD} = \angle{ABC}.\] Demuestre que los puntos $ P$ , $ Q$ , $ B$ y $ C$ son concíclicos. Propuesto por Vyacheslev Yasinskiy, Ucrania

3 Sean $ a > b > 1$ enteros positivos coprimos. Defina el peso de un entero $ c$ , denotado por $ w(c)$ , como el valor mínimo posible de $ |x| + |y|$ sobre todos los pares de enteros $ x$ y $ y$ tales que \[ax + by = c.\] Un entero $ c$ se llama campeón local si $ w(c) \geq w(c \pm a)$ y $ w(c) \geq w(c \pm b)$ . Halle todos los campeones locales y determine su número. Propuesto por Zoran Sunic, EE. UU.

1 Tenemos $ n \geq 2$ lámparas $ L_{1}, . . . ,L_{n}$ en una fila, cada una de ellas encendida o apagada. Cada segundo modificamos simultáneamente el estado de cada lámpara de la siguiente manera: si la lámpara $ L_{i}$ y sus vecinas (solo una vecina para $ i = 1$ o $ i = n$ , dos vecinas para los demás $ i$ ) están en el mismo estado, entonces $ L_{i}$ se apaga; – en caso contrario, $ L_{i}$ se enciende. Inicialmente todas las lámparas están apagadas excepto la más a la izquierda, que está encendida. $ (a)$ Demuestre que hay infinitos enteros $ n$ para los cuales todas las lámparas terminarán apagadas. $ (b)$ Demuestre que hay infinitos enteros $ n$ para los cuales las lámparas nunca estarán todas apagadas.

2 Sean $ n, k \in \mathbb{N}$ con $ 1 \leq k \leq \frac {n}{2} - 1.$ Hay $ n$ puntos dados sobre una circunferencia. Elegimos arbitrariamente $ nk + 1$ cuerdas entre los puntos de la circunferencia. Demuestre que entre estas cuerdas hay al menos $ k + 1$ cuerdas que por pares no tienen ningún punto en común.