B2 ¡Hola a todos! ¡Tengo un problema interesante! ¿Pueden resolverlo? Demuestra el Teorema de Erdös-Ginzburg-Ziv: "Entre cualesquiera $2n-1$ enteros, hay algunos $n$ cuya suma es divisible por $n$."

B3 Demuestra que si un cuadrado unitario se particiona en dos conjuntos, entonces el diámetro (la menor cota superior de las distancias entre pares de puntos) de uno de los conjuntos no es menor que $\sqrt{5} \slash 2.$ Demuestra también que ningún número mayor sirve.

B1 Dado que $$b_n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}^{-1}, \;\; n\geq 1,$$ demuestra que $$b_n = \frac{n+1}{2n} b_{n-1} +1, \;\; n \geq 2.$$ Por lo tanto, como corolario, muestra que $$ \lim_{n \to \infty} b_n =2.$$

B6 Sea un grafo completo orientado sobre $n$ puntos. Demuestra que los vértices se pueden enumerar como $v_1 , v_2 ,\ldots, v_n$ de modo que $v_1 \rightarrow v_2 \rightarrow \cdots \rightarrow v_n.$

A4 Sea $P(z)$ un polinomio con coeficientes reales cuyas raíces están cubiertas por un disco de radio $R$. Demuestra que para cualquier número real $k$, las raíces del polinomio $nP(z)-kP'(z)$ pueden cubrirse con un disco de radio $R+|k|$, donde $n$ es el grado de $P(z)$ y $P'(z)$ es la derivada de $P(z)$. ¿Alguien me puede ayudar? También sería de enorme ayuda si alguien me pudiera decir dónde han visto este tipo de problemas.............¿Ha aparecido en alguna competencia de matemáticas? ¿O hay alguna pregunta similar que pueda intentar? ¡Gracias de antemano!

Dado $n$ puntos en el plano, demuestra que la distancia más grande determinada por estos puntos no puede ocurrir más de $n$ veces.

A6 Sea $a>0$, $S_1 = \ln a$ y $S_n = \sum_{i=1}^{n-1} \ln(a - S_i)$ para $n > 1$. Demuestra que $$ \lim_{n \to \infty} S_n = a-1. $$

A7 Cada miembro de un conjunto de circunferencias en el plano $xy$ es tangente al eje $x$ y no hay dos circunferencias que se intersecten. Demuestra que (a) los puntos de tangencia pueden incluir todos los puntos racionales del eje. (b) los puntos de tangencia no pueden incluir todos los puntos irracionales.

B1 Considera el determinante de la matriz $(a_{ij})_{ij}$ con $1\leq i,j \leq 100$ y $a_{ij}=ij.$ Demuestra que si el valor absoluto de cada uno de los $100!$ términos en el desarrollo de este determinante se divide entre $101,$ entonces el residuo siempre es $1.$

Para determinar $\frac{1}{A}$ con $A>0$, se puede usar la iteración $X_{k+1}=X_{k}(2-AX_{k}),$ donde $X_0$ es un valor inicial seleccionado. Encuentra la limitación, si existe, sobre el valor inicial $X_0$ para que la iteración anterior converja a $\frac{1}{A}.$