2 Se da una sucesión $(a_n)_{-\infty}^{-\infty}$ de ceros y unos. Se sabe que $a_n = 0$ si y solo si $a_{n-6} + a_{n-5} +...+ a_{n-1}$ es un múltiplo de $3$ , y no todos los términos de la sucesión son cero. Determine el número máximo posible de ceros entre $a_0,a_1,...,a_{97}$ .

3 Sean $\ a,x,y,z>0$ . Demuestre que: $\frac{a+y}{a+z}x+\frac{a+z}{a+x}y+\frac{a+x}{a+y}z\geq{x+y+z}\geq\frac{a+z}{a+x}x+\frac{a+x}{a+y}y+\frac{a+y}{a+z}z$

4 Un conjunto $M$ consta de $n$ elementos. Halle el mayor $k$ para el cual existe una colección de $k$ subconjuntos de $M$ tal que para cualesquiera subconjuntos $A_{1},...,A_{j}$ de la colección, exista un elemento que pertenezca a un número impar de ellos

1 Llamamos $k$ - suma a la suma de cualesquiera $k$ de $n$ números dados (con índices distintos). Dado $n$ , halle todos los $k$ tales que, siempre que más de la mitad de las $k$ - sumas de los números $a_{1},a_{2},...,a_{n}$ sean positivas, la suma $a_{1}+a_{2}+...+a_{n}$ también sea positiva.

2 Suponga que una función $f : R^+ \to R^+$ satisface $$f(f(x))+x = f(2x).$$ Demuestre que $f(x) \ge x$ para todo $x >0$

3 He aquí el problema original: Cita: ¿Existe un conjunto infinito M de rectas en el plano coordenado tal que (i) no haya dos rectas paralelas, y (ii) para cualquier punto entero exista una recta de M que lo contenga? ¿Cambia la respuesta si añadimos una condición más: (iii) cualquier recta de M pasa por al menos 2 puntos enteros?

4 Un triángulo $A_1B_1C_1$ es una proyección paralela de un triángulo $ABC$ en el espacio. Se dibujan las proyecciones paralelas $A_1H_1$ y $C_1L_1$ de la altura $AH$ y de la bisectriz $CL$ de $\vartriangle ABC$ , respectivamente. Usando regla y compás, construya una proyección paralela de: (a) el ortocentro, (b) el incentro de $\vartriangle ABC$ .

Marque seis puntos en un plano de modo que cualesquiera tres de ellos sean vértices de un triángulo isósceles no degenerado.

El octágono $ABCDEFGH$ con longitudes de lado $AB = CD = EF = GH = 10$ y $BC = DE = FG = HA = 11$ se forma al quitar cuatro triángulos $6-8-10$ de las esquinas de un rectángulo de $23\times 27$ con el lado $\overline{AH}$ sobre un lado corto del rectángulo, como se muestra. Sea $J$ el punto medio de $\overline{HA}$, y divide el octágono en $7$ triángulos trazando los segmentos $\overline{JB}$, $\overline{JC}$, $\overline{JD}$, $\overline{JE}$, $\overline{JF}$ y $\overline{JG}$. Encuentra el área del polígono convexo cuyos vértices son los centroides de estos $7$ triángulos. [asy] unitsize(6); pair P = (0, 0), Q = (0, 23), R = (27, 23), SS = (27, 0); pair A = (0, 6), B = (8, 0), C = (19, 0), D = (27, 6), EE = (27, 17), F = (19, 23), G = (8, 23), J = (0, 23/2), H = (0, 17); draw(P--Q--R--SS--cycle); draw(J--B); draw(J--C); draw(J--D); draw(J--EE); draw(J--F); draw(J--G); draw(A--B); draw(H--G); real dark = 0.6; filldraw(A--B--P--cycle, gray(dark)); filldraw(H--G--Q--cycle, gray(dark)); filldraw(F--EE--R--cycle, gray(dark)); filldraw(D--C--SS--cycle, gray(dark)); dot(A); dot(B); dot(C); dot(D); dot(EE); dot(F); dot(G); dot(H); dot(J); dot(H); defaultpen(fontsize(10pt)); real r = 1.3; label("$A$", A, W*r); label("$B$", B, S*r); label("$C$", C, S*r); label("$D$", D, E*r); label("$E$", EE, E*r); label("$F$", F, N*r); label("$G$", G, N*r); label("$H$", H, W*r); label("$J$", J, W*r); [/asy]

10 La rueda que se muestra abajo consiste en dos círculos y cinco radios, con una etiqueta en cada punto donde un radio se encuentra con un círculo. Un insecto camina a lo largo de la rueda, comenzando en el punto \(A\) . En cada paso del proceso, el insecto camina de un punto etiquetado a un punto etiquetado adyacente. Por el círculo interior, el insecto solo camina en sentido contrario a las manecillas del reloj, y por el círculo exterior, el insecto solo camina en el sentido de las manecillas del reloj. Por ejemplo, el insecto podría viajar por la trayectoria \(AJABCHCHIJA\) , que tiene \(10\) pasos. Sea \(n\) el número de trayectorias con \(15\) pasos que comienzan y terminan en el punto \(A\) . Encuentra el residuo cuando \(n\) se divide entre \(1000\) . [asy] unitsize(32); draw(unitcircle); draw(scale(2) * unitcircle); for(int d = 90; d < 360 + 90; d += 72){ draw(2 * dir(d) -- dir(d)); } real s = 4; dot(1 * dir( 90), linewidth(s)); dot(1 * dir(162), linewidth(s)); dot(1 * dir(234), linewidth(s)); dot(1 * dir(306), linewidth(s)); dot(1 * dir(378), linewidth(s)); dot(2 * dir(378), linewidth(s)); dot(2 * dir(306), linewidth(s)); dot(2 * dir(234), linewidth(s)); dot(2 * dir(162), linewidth(s)); dot(2 * dir( 90), linewidth(s)); defaultpen(fontsize(10pt)); real r = 0.05; label("$A$", (1-r) * dir( 90), -dir( 90)); label("$B$", (1-r) * dir(162), -dir(162)); label("$C$", (1-r) * dir(234), -dir(234)); label("$D$", (1-r) * dir(306), -dir(306)); label("$E$", (1-r) * dir(378), -dir(378)); label("$F$", (2+r) * dir(378), dir(378)); label("$G$", (2+r) * dir(306), dir(306)); label("$H$", (2+r) * dir(234), dir(234)); label("$I$", (2+r) * dir(162), dir(162)); label("$J$", (2+r) * dir( 90), dir( 90)); [/asy]