4 Halle el menor entero positivo $k$ con la propiedad siguiente: si cada celda de una cuadrícula de $100\times 100$ se tiñe con un color y el número de celdas de cada color no es mayor que $104$ , entonces existe un rectángulo de $k\times1$ o $1\times k$ que contiene celdas de al menos tres colores distintos. David-Vieta

1 Sea $k\ge 2$ un entero y sean $a_1,a_2,\cdots,a_k$ $k$ reales no nulos. Demuestre que hay finitamente muchas tuplas de enteros positivos dos a dos distintos $(n_1,n_2,\cdots,n_k)$ tales que $$a_1\cdot n_1!+a_2\cdot n_2!+\cdots+a_k\cdot n_k!=0.$$ .

1 $a,b,c,d$ son números reales tales que $a\geq b,c\geq d$ , \[|a|+2|b|+3|c|+4|d|=1.\] Sea $P=(a-b)(b-c)(c-d)$ , halle el valor máximo y el valor mínimo de $P$ .

3 ¿Existe un conjunto infinito $S$ formado por enteros positivos, tal que para cualesquiera $x,y,z,w\in S,x<y,z<w$ , si $(x,y)\ne (z,w)$ , entonces $\gcd(xy+2022,zw+2022)=1$ ?

2 En $\triangle ABC$ , el punto $M$ es el punto medio de $AC$ . $MD//AB$ corta a la tangente en $A$ a $\odot(ABC)$ en el punto $D$ . El punto $E$ está en $AD$ y el punto $A$ es el punto medio de $DE$ . $\{P\}=\odot(ABE)\cap AC,\{Q\}=\odot(ADP)\cap DM$ . Demuestre que $\angle QCB=\angle BAC$ . https://z3.ax1x.com/2021/09/12/4pZ7Zj.jpg

3 Si $n\ge 4,\ n\in\mathbb{N^*},\ n\mid (2^n-2)$ . Demuestre que $\frac{2^n-2}{n}$ no es un número primo.

4 Halle el valor mínimo de $c$ tal que para cualquier entero positivo $n\ge 4$ y cualquier conjunto $A\subseteq \{1,2,\cdots,n\}$ , si $|A| >cn$ , existe una función $f:A\to\{1,-1\}$ que satisface $$\left| \sum_{a\in A}a\cdot f(a)\right| \le 1.$$ .

6 Demuestre que toda sucesión aritmética infinita $a, a+d, a+2d, \ldots$ , donde $a$ y $d$ son números naturales, contiene como subsucesión una sucesión geométrica infinita $b, bq, bq^{2}, \ldots$ , donde $b$ y $q$ son números naturales.

Sea $f(x)$ una función impar sobre $R$ , $f(1)=1$ y $f(\frac{x}{x-1})=xf(x)$ $(\forall x<0)$ . Halle el valor de $f(1)f(\frac{1}{100})+f(\frac{1}{2})f(\frac{1}{99})+f(\frac{1}{3})f(\frac{1}{98})+\cdots +f(\frac{1}{50})f(\frac{1}{51}).$ .

1 Para cualquier entero positivo $n$ , demuestre que no existen tres enteros impares $x,y,z$ que satisfagan la ecuación $(x+y)^n+(y+z)^n=(x+z)^n$ .