3 Hay $n$ celdas con índices del $1$ al $n$ . Inicialmente, en cada celda hay una tarjeta con el índice correspondiente. Vasya mueve las tarjetas de modo que en la $i$ - ésima celda ahora haya una tarjeta con el número $a_i$ . Petya puede intercambiar dos tarjetas cualesquiera con números $x$ y $y$ , pero debe pagar $2|x-y|$ monedas. Demuestre que Petya puede devolver todas las tarjetas a su posición original sin pagar más de $|a_1-1|+|a_2-2|+\ldots +|a_n-n|$ monedas.

4 Dado un triángulo $ABC$ con $AB>BC$ , sea $ \Omega $ la circunferencia circunscrita. Sean $M$ , $N$ puntos sobre los lados $AB$ , $BC$ respectivamente, tales que $AM=CN$ . Sea $K$ la intersección de $MN$ y $AC$ . Sea $P$ el incentro del triángulo $AMK$ y $Q$ el $K$ - excentro del triángulo $CNK$ . Si $R$ es el punto medio del arco $ABC$ de $ \Omega $ , demuestre que $RP=RQ$ . M. Kungodjin

2 Sea $M$ el punto medio del lado $AC$ de $ \triangle ABC$ . Sean $P\in AM$ y $Q\in CM$ tales que $PQ=\frac{AC}{2}$ . Suponga que $(ABQ)$ interseca a $BC$ en $X\not= B$ y que $(BCP)$ interseca a $BA$ en $Y\not= B$ . Demuestre que el cuadrilátero $BXMY$ es cíclico. F. Ivlev, F. Nilov

4 Se dan $n$ $k$ - gonos convexos en el plano que se intersecan dos a dos. Cualquiera de ellos puede transformarse en cualquier otro mediante una homotecia con coeficiente positivo. Demuestre que existe un punto en el plano que pertenece al menos a $1 +\frac{n-1}{2k}$ de estos $k$ - gonos.

1 ¿Existe un $a\in\mathbb{R}$ positivo tal que \[|\cos x|+|\cos ax| >\sin x +\sin ax \] para todo $x\in\mathbb{R}$ ? N. Agakhanov

2 Peter y Bob juegan un juego en un tablero de ajedrez de $n\times n$ . Al principio, todos los cuadrados son blancos excepto un cuadrado negro de una esquina que contiene una torre. Los jugadores se turnan para mover la torre a un cuadrado blanco y volver a colorear el cuadrado de negro. El jugador que no puede mover pierde. Peter juega primero. ¿Quién tiene una estrategia ganadora?

2 La esfera inscrita y la esfera exinscrita de una pirámide triangular $ABCD$ tocan su cara $BCD$ en puntos distintos $X$ y $Y$ . Demuestre que el triángulo $AXY$ es un triángulo obtusángulo.

3 Los números racionales positivos $a$ y $b$ se escriben como fracciones decimales y cada uno tiene un período mínimo de 30 dígitos. En la representación decimal de $a-b$ , el período es de al menos $15$ . Halle el valor mínimo de $k\in\mathbb{N}$ tal que, en la representación decimal de $a+kb$ , la longitud del período sea al menos $15$ . A. Golovanov

4 Dado un triángulo $ABC$ con $AB>BC$ , $ \Omega $ es la circunferencia circunscrita. Sean $M$ , $N$ puntos sobre los lados $AB$ , $BC$ respectivamente, tales que $AM=CN$ . $K(.)=MN\cap AC$ y $P$ es el incentro del triángulo $AMK$ , $Q$ es el K - excentro del triángulo $CNK$ (opuesto a $K$ y tangente a $CN$ ) . Si $R$ es el punto medio del arco $ABC$ de $ \Omega $ , demuestre que $RP=RQ$ . M. Kungodjin

1 Llamamos bueno a un número natural $n$ si para cualquier divisor natural $a$ de $n$ se tiene que $a+1$ también es divisor de $n+1$ . Halle todos los números naturales buenos. S. Berlov