3 Demuestre que hay infinitos primos $ p$ tales que el número total de soluciones mód $ p$ de la ecuación $ 3x^{3}+4y^{4}+5z^{3}-y^{4}z \equiv 0$ es $ p^2$

4 Dos circunferencias $ C_1,C_2$ de radios distintos están dadas en el plano y son tangentes entre sí exteriormente en $ T$ . Considere puntos cualesquiera $ A\in C_1$ y $ B\in C_2$ , ambos distintos de $ T$ , tales que $ \angle ATB = 90^{\circ}$ . (a) Demuestre que todas esas rectas $ AB$ son concurrentes. (b) Halle el lugar geométrico de los puntos medios de todos esos segmentos $ AB$ .

1 IMO 2007 HKTST 1 Problema 1 Sean $p,q,r$ y $s$ números reales tales que $p^{2}+q^{2}+r^{2}-s^{2}+4=0$ . Halle el valor máximo de $3p+2q+r-4|s|$ .

2 IMO 2007 HKTST 1 Problema 2 Sean $A$ , $B$ y $C$ números reales tales que (i) $\sin A \cos B+|\cos A \sin B|=\sin A |\cos A|+|\sin B|\cos B$ , (ii) $\tan C$ y $\cot C$ están definidas. Halle el valor mínimo de $(\tan C-\sin A)^{2}+(\cot C-\cos B)^{2}$ .

3 Sea $ABC$ un triángulo con $AB=c$ , $BC=a$ y $CA=b$ . Demuestre que $\frac{\cos A}{a^{3}}+\frac{\cos B}{b^{3}}+\frac{\cos C}{c^{3}}\geq \frac{3}{2abc}$ . Haga clic para revelar el texto oculto del enunciado del problema 3, publicado para la colección de publicaciones; la ocultación se eliminará pronto

4 IMO 2007 HKTST 1 Problema 4 (a) Dados cinco puntos en un plano tales que no hay tres de ellos colineales. Demuestre que entre los triángulos que se dibujan usando cualesquiera tres de estos cinco puntos como vértices, al menos tres de los triángulos formados no son acutángulos. (Un triángulo acutángulo es aquel en el que los tres ángulos interiores son agudos.) (b) Dados cualesquiera 100 puntos en un plano tales que no hay tres de ellos colineales. Demuestre que entre los triángulos que se dibujan usando cualesquiera tres de estos 100 puntos como vértices, al menos el 30% de los triángulos no son acutángulos.

5 IMO 2007 HKTST 1 Problema 5 La sucesión $\{a_{n}\}$ está definida por $a_{1}=0$ y $(n+1)^{3}a_{n+1}=2n^{2}(2n+1)a_{n}+2(3n+1)$ para todo entero $\geq 1$ . Demuestre que infinitos miembros de la sucesión son enteros positivos.

6 IMO 2007 HKTST 1 Problema 6 Determine todos los pares $(x,y)$ de enteros positivos tales que $\frac{x^{2}y+x+y}{xy^{2}+y+11}$ es un entero.

1 Halle las soluciones enteras de la ecuación $7(x+y)=3(x^2-xy+y^2)$

2 La función $f(x,y)$ , definida sobre el conjunto de todos los enteros no negativos, satisface (i) $f(0,y)=y+1$ (ii) $f(x+1,0)=f(x,1)$ (iii) $f(x+1,y+1)=f(x,f(x+1,y))$ Halle f(3,2005) y f(4,2005)