Para los números reales positivos $ a,b,c,d$ demuestra que \[ \frac c{a + 2b} + \frac d{b + 2c} + \frac a{c + 2d} + \frac b{d + 2a} \geq \frac 43.\]

2016 g5 Sea $A_1A_2A_3$ un triángulo acutángulo. La mediatriz del lado $A_1A_2$ y la paralela a $A_1A_3$ que pasa por $A_2$ se intersecan en $P_1$ , la mediatriz del lado $A_1A_3$ y la paralela a $A_1A_2$ que pasa por $A_3$ se intersecan en $Q_1$ y sea $M_1$ el punto medio del segmento $P_1Q_1$ . De manera análoga se definen los puntos $M_2$ y $M_3$ . Demuestre que la circunferencia inscrita del triángulo $M_1M_2M_3$ pasa por los puntos medios de los lados de $A_1A_2A_3$ .

6 Halle todas las funciones $f: \mathbb R^+ \rightarrow \mathbb R^+$ que satisfacen la siguiente condición: para cualesquiera tres números reales distintos $a,b,c$ , se puede formar un triángulo con lados de longitudes $a,b,c$ , si y solo si se puede formar un triángulo con lados de longitudes $f(a),f(b),f(c)$ .

2 Sea $ r$ un número real tal que la sucesión $ (a_{n})_{n\geq 1}$ de números reales positivos satisface la ecuación $ a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{m + 1} \leq r a_{m}$ para cada entero positivo $ m$ . Demuestra que $ r \geq 4$ .

Hay 10000 baldosas iguales en forma de triángulo equilátero. Con estos triángulos pequeños se forman hexágonos regulares, sin superposiciones ni huecos. Si se forma el hexágono regular que desperdicia la menor cantidad de triángulos, ¿cuántos triángulos sobran?

A5 Sean $a, b, c, d$ números reales positivos tales que $abcd = 1$ . Demuestre la desigualdad $\frac{1}{a^3 + b + c + d} +\frac{1}{a + b^3 + c + d}+\frac{1}{a + b + c^3 + d} +\frac{1}{a + b + c + d^3} \leq \frac{a+b+c+d}{4}$ Propuesto por Rumania

2 Sea \(ABCD\) un cuadrado de lado \(k\). Los puntos \(P\) y \(Q\) están sobre los lados \(BC\) y \(DC\), respectivamente, tales que \(PC = 3\,PB\) y \(QD = 2\,QC\). Sea \(M\) el punto de intersección de las rectas \(AQ\) y \(PD\). Determina el área del triángulo \(QMD\) en términos de \(k\).

1 ¿Cuántos números de siete dígitos son múltiplos de $388$ y terminan en $388$?

1 Demuestra que la ecuación $ x^{5} + 31 = y^{2}$ no tiene solución entera.

Sea el círculo \( (I; r) \) inscrito en el triángulo \( ABC \). Sea \( D \) el punto de contacto de este círculo con \( BC \). Sean \( E \) y \( F \) los puntos medios de \( BC \) y \( AD \), respectivamente. Demuestra que los tres puntos \( I \), \( E \), \( F \) son colineales.