11 Sea $\triangle ABC$ un triángulo acutángulo. La bisectriz de $\angle ACB$ interseca el lado $AB$ en $D$ . La circunferencia circunscrita del triángulo $ADC$ interseca el lado $BC$ en $C$ y $E$ con $C \neq E$ . La recta paralela a $AE$ que pasa por $B$ interseca la recta $CD$ en $F$ . Demuestre que el triángulo $\triangle AFB$ es isósceles.

12 Halle todos los números $n \in \mathbb{N}^*$ para los cuales existe un conjunto finito de números naturales $A=(a_1, a_2,...a_n)$ tal que para cualquier $k$ $(1\leq k \leq n)$ el número $a_k$ es el número de todos los múltiplos de $k$ en el conjunto $A$ .

1 Sea $n$ un entero positivo. Del conjunto $A=\{1,2,3,...,n\}$ se elimina un elemento. ¿Cuál es el menor cardinal posible de $A$ y cuál es el elemento eliminado, dado que la media aritmética de los elementos restantes en $A$ es $\frac{439}{13}$ ?

2 La sucesión numérica $(a_n)_{n\geq1}$ verifica la relación $a_{n+1} = \frac{n+2}{n} \cdot (a_n-1)$ para cualquier $n\in N^*$ . Demuestre que $a_n \in Z$ para cualquier $n\in N^*$ , si $a_1\in Z$ .

3 Sea $O$ el centro de la circunferencia circunscrita $\Omega$ del triángulo acutángulo $\Delta ABC$ . La recta $AC$ interseca la circunferencia circunscrita del triángulo $\Delta ABO$ por segunda vez en $X$ . Demuestre que $BC$ y $XO$ son perpendiculares.

4 Sea $n(n\geq2)$ un número natural y $a_1,a_2,...,a_n$ números reales positivos. Determine el menor valor posible de la expresión $$E_n=\frac{(1+a_1)\cdot(a_1+a_2)\cdot(a_2+a_3)\cdot...\cdot(a_{n-1}+a_n)\cdot(a_n+3^{n+1})} {a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdot...\cdot a_n}$$

5 Halle todas las ternas de enteros positivos $(a, b, c)$ que verifican $\left(\frac{1}{a}+1\right)\left(\frac{1}{b}+1\right)\left(\frac{1}{c}+1\right)=2$ .

6 Sean $p$ y $q$ números enteros. Si $k^2+pk+q>0$ para todo entero $k$ , demuestre que $x^2+px+q>0$ para todo número real $x$ .

7 El punto $H$ es el ortocentro del triángulo acutángulo $\Delta ABC$ y el punto $K$ , situado sobre la recta $(BC)$ , es el pie de la perpendicular trazada desde el punto $A$ .El círculo $\Omega$ pasa por los puntos $A$ y $K$ , e interseca los lados $(AB)$ y $(AC)$ en los puntos $M$ y $N$ .La recta que pasa por el punto $A$ y es paralela a $BC$ interseca nuevamente las circunferencias circunscritas de los triángulos $\Delta AHM$ y $\Delta AHN$ en los puntos $X$ y $Y$ . Demuestre que $XY =BC$ .

8 Se considera un polígono regular de $n$ lados, donde $n(n>3)$ es un número impar que no es divisible por 3. De los vértices del polígono se eligen arbitrariamente $m(0\leq m\leq n)$ vértices que se colorean de rojo y los demás de negro. Un triángulo cuyos vértices son vértices del polígono se considera $monocolor$ si todos sus vértices son del mismo color. Demuestre que el número de todos los triángulos isósceles $monocolor$ cuyos vértices están en los vértices del polígono dado no depende de la manera de colorear los vértices del polígono. Determine el número de todos estos triángulos isósceles $monocolor$ .