5 En los vértices de un cubo se escriben ocho números naturales distintos dos a dos, y en cada una de sus aristas se escribe el máximo común divisor de los números en los extremos de la arista. ¿Puede la suma de los números escritos en los vértices ser igual a la suma de los números escritos en las aristas? A. Shapovalov

6 Tres sargentos y varios soldados sirven en un pelotón. Los sargentos se turnan en el servicio. El comandante ha dado las siguientes órdenes: (a) Cada día debe asignarse al menos una tarea a un soldado. (b) Ningún soldado puede tener más de dos tareas ni recibir más de una tarea en un mismo día. (c) Las listas de soldados que reciben tareas en dos días distintos no deben ser iguales. (d) El primer sargento que viole cualquiera de estas órdenes será encarcelado. ¿Puede al menos uno de los sargentos, sin confabularse con los demás, asignar tareas de acuerdo con estas reglas y evitar ser encarcelado? M. Kulikov

1 Demuestre que todo subconjunto de {1,2,...,99,100} con 55 elementos contiene al menos 2 números con una diferencia de 9.

6 En el triángulo isósceles $ABC$ ( $AC = BC$ ) el punto $O$ es el circuncentro, $I$ el incentro, y $D$ está sobre $BC$ de modo que las rectas $OD$ y $BI$ son perpendiculares. Demuestre que $ID$ y $AC$ son paralelas. M. Sonkin

5 Demuestre que en la progresión aritmética con primer término 1 y razón 729 hay infinitas potencias de 10. L. Kuptsov

g12.11 En $\Delta ABC$, sea la circunferencia inscrita tangente a $\overline{BC}$, $\overline{CA}$, $\overline{AB}$ en $X,Y,Z$. Sean $I_A,I_B,I_C$ los excentros correspondientes a $A$, $B$, $C$, respectivamente. Demuestra que el incentro de $\Delta ABC$, el ortocentro de $\Delta XYZ$ y el baricentro de $\Delta I_AI_BI_C$ son colineales.

8 Goodnik escribe 10 números en el pizarrón, luego Nogoodnik escribe 10 números más, siendo los 20 números positivos y distintos. ¿Puede Goodnik elegir sus 10 números de modo que, sin importar lo que escriba Nogoodnik, pueda formar 10 trinomios cuadráticos de la forma $x^2 +px+q$ , cuyos coeficientes $p$ y $q$ recorran todos los números escritos, de manera que las raíces reales de estos trinomios comprendan exactamente 11 valores? I. Rubanov

1 ¿Puede el número obtenido al escribir los números del 1 al $n$ en orden ( $n > 1$ ) ser el mismo cuando se lee de izquierda a derecha y de derecha a izquierda? N. Agakhanov

2 Varios excursionistas viajan a velocidades constantes a lo largo de un camino recto. Se sabe que durante cierto período de tiempo, la suma de sus distancias por pares es monótonamente decreciente. Demuestre que hay un excursionista tal que la suma de sus distancias a los demás excursionistas es monótonamente decreciente durante el mismo período. A. Shapovalov

3 Demuestre que para $n\ge 5$ , una sección transversal de una pirámide cuya base es un $n$ -ágono regular no puede ser un $(n + 1)$ -ágono regular. N. Agakhanov, N. Tereshin